模块综合检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
i
1．复数(i为虚数单位)的虚部是( )
2＋i
1122A． B．i C．i D． 5555
ii?2－i?12i2解析：选D 因为＝＝＋i，所以复数的虚部为，故选D.
2＋i?2＋i??2－i?552＋i52．已知复数z＝(2＋i)(a＋2i)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1) C．(－1,4)
3
3
B．(4，＋∞) D．(－4，－1)
解析：选C 复数z＝(2＋i)(a＋2i)＝(2＋i)(a－2i)＝2a＋2＋(a－4)i，其在复平面内对应的点(2a＋2，a－4)在第四象限，则2a＋2>0，且a－4<0，解得－1 3．用反证法证明“若a＋b＋c<3，则a，b，c中至少有一个小于1”，应( ) A．假设a，b，c至少有一个大于1 C．假设a，b，c至少有两个大于1 B．假设a，b，c都大于1 D．假设a，b，c都不小于1 解析：选D 假设a，b，c中至少有一个小于1不成立，即a，b，c都不小于1，故选D. 4．设a＝?x1 ?13?0 dx，b＝1－?xdx，c＝?1xdx，则a、b、c的大小关系是( ) 1 123 ?0?0 A．a>b>c C．a>c>b 1?3B．b>a>c D．b>c>a 解析：选A 由题意可得a＝?x1 ?0 ? dx＝?1?－＋10 x3 1 1??131 3?＝x2?2?0 31 3 ＝；b＝1－?1x2dx＝12? 0 1－ x? 2 ?3?0 321 2?1x4??13 ＝1－?－0?＝；c＝?xdx＝?4?0?3?3?0 1 ＝.综上，a>b>c. 4 5．由①y＝2x＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( ) A．②①③ B．③①② C．①②③ D．②③① 解析：选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小前提)，y＝2x＋5的图象是一条直线(结论)． 6．已知点列：P1(1,1)，P2(1,2)，P3(2,1)，P4(1,3)，P5(2,2)，P6(3,1)，P7(1,4)，P8(2,3)，P9(3,2)，P10(4,1)，P11(1,5)，P12(2,4)，…，则P60的坐标为( ) A．(3,8) C．(4,8) B．(4,7) D．(5,7) 解析：选D 横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横纵坐标之和为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个． 因此横纵坐标之和为2,3，…，11的点共有1＋2＋3＋…＋10＝55个， 横纵坐标之和为12的有11个． 因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D. 3c322 7.函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋d的图象如图，则函数y＝ax＋bx＋的单调递增区间是23( ) A．(－∞，－2] C．[－2,3] ?1?B.?，＋∞? ?2??9?D.?，＋∞? ?8? 3 2 2 解析：选D 由题图可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x＋bx＋cx，∴f′(x)＝3x＋2bx＋c.由图可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0， 3999922 ∴b＝－，c＝－18.∴y＝x－x－6，y′＝2x－. 当x＞时，y′＞0，∴y＝x－x－6 24484 ?9?的单调递增区间为?，＋∞?.故选D. ?8? 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x＋y＝r(r>0)内切于正方形1―→―→―→22 ABCD，任取圆上一点P，若OP＝mOA＋nOB (m，n∈R)，则是m，n的 4 2 2 2 x2y2 等差中项．现有一椭圆2＋2＝1(a>b>0)内切于矩形ABCD，任取椭圆上一点 abP，若OP＝mOA＋nOB (m，n∈R)，则m2，n2的等差中项为( ) 1A. 4C. 2 2 1B. 2D．1 ―→ ―→ ―→ x2y2 解析：选A 图，设P(x，y)，由2＋2＝1知A(a，b)，B(－a，b)，由 ab??x＝?m－n?a，―→―→―→ OP＝mOA＋nOB可得? ??y＝?m＋n?b， 2 2 2 2 2 x2y22 代入2＋2＝1可得(m－n)＋(m＋ ab1m＋n1122 n)＝1，即m＋n＝，所以＝，即m，n的等差中项为. 2244 9．已知函数f(x)＝x－ax在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为( ) A．(1，＋∞) C．(－∞，1] 3 2 3 B．[3，＋∞) D．(－∞，3] 2 解析：选B ∵f(x)＝x－ax，∴f′(x)＝3x－a.又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴3x－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3，故选B. 10．设函数f(x)在R上可导，f(x)＝xf′(2)－3x，则f(－1)与f(1)的大小关系是( ) A．f(－1)＝f(1) C．f(－1) 2 2 B．f(－1)>f(1) D．不确定 解析：选B 因为f(x)＝xf′(2)－3x，所以f′(x)＝2xf′(2)－3，则f′(2)＝4f′(2)－3，解得f′(2)＝1，所以f(x)＝x－3x，所以f(1)＝－2，f(－1)＝4，故f(－1)>f(1). 11．若不等式2xln x≥－x＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，0) C．(0，＋∞) B．(－∞，4] D．[4，＋∞) 2 2 332 解析：选B 由2xln x≥－x＋ax－3，得a≤2ln x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(xxx?x＋3??x－1? ＞0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，2 x＋∞)时，h′(x)＞0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]． 12．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)＋ xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1) A．{x|x≠±1} C．(－1,1) 2 2 B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1) 2 解析：选B 构造函数g(x)＝xf(x)－x，x∈R，则g′(x)＝2xf(x)＋xf′(x)－2x＝ x[2f(x)＋xf′(x)－2]．由题意得2f(x)＋xf′(x)－2<0恒成立，故当x<0时，g′(x)>0， 函数g(x)单调递增；当x>0时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减．因为xf(x)－f(1) 2 2 2 2