由数列的递推公式求通项公式的常用方法
一 准备知识
所谓数列，简单地说就是有规律的（有限或无限多个）数构成的一列数，常记作{an}，an的公式叫做数列的通项公式．常用的数列有等差数列和等比数列． 等差数列 数列{an}的后一项与前一项的定义 差an?an?1为常数 等比数列 数列{an}的后一项与前一项的比an为常数q（q≠0） an?1q为公比 专有名词 通项公式 为公差 an?a1?(n?1)d an?a1qn?1 前n项和 Sn?na1?n(n?1)d?a1?an?na1(1?qn) ?Sn? 221?q数列的前n项和Sn与通项公式an的关系是：an?Sn?Sn?1(n≥2)．
有些数列不是用通项公式给出，而是用an与其前一项或前几项的关系来给出的，例如：这样的公式称为数列的递推公式．由数列的递推公式我们可以求出其通项公式． an?1?2an?3，
数列问题中一个很重要的思想是把数列的通项公式或递推公式变形，然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式，最后用新数列的性质解决问题． 二 例题精讲
例1．（裂项求和）求Sn?解：因为an?8?18?28?n??K?． 2222221?33?5(2n?1)?(2n?1)8?n11?? 222(2n?1)?(2n?1)(2n?1)(2n?1)2??111?11??11??1?所以Sn??2?2???2?2??L?? ?222?(2n?1)(2n?1)(2n?1)?13??35???
例2．（倒数法）已知数列{an}中，a1?an3，an?1?，求{an}的通项公式． 52an?1
解：
1an?1?2an?11??2 anan?1?5156n?1∴??是以为首项，公差为2的等差数列，即??2(n?1)?，
a33a3n?n?∴an?
练习1．已知数列{an}中，a1=1，Sn?Sn?1，求{an}的通项公式．
2Sn?1?13． 6n?1解：
12Sn?1?11???2， SnSn?1Sn?1?1?∴??是以1为首项，公差为2的等差数列． ?Sn?∴
11=1+2（n－1）=2n－1，即Sn?．
2n?1Sn211=? ?2n?12n?3(2n?1)(2n?3)∴an?Sn?Sn?1?1?(n?1)?∴an??1 1(n≥2)???2n?12n?3
例3．（求和法，利用公式an?Sn?Sn?1(n≥2)）
1?1?已知正数数列{an}的前n项和Sn??an??，求{an}的通项公式．
2?an?1?1?解：S1?a1??a1??，所以a1?1．
2?a1?∵an?Sn?Sn?1， ∴2Sn?Sn?Sn?1?∴Sn?Sn?1?∴Sn21
Sn?Sn?112?Sn2?1?1． ，即SnSn?Sn?1??是以1为首项，公差为1的等差数列．
∴Sn2?n，即Sn?n．
∴an?Sn?Sn?1?n?n?1（n≥2） ∴an?n?n?1．
例4．（叠加法）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn?Sn?23S1?1,S2??，求{an}的通项公式．
2?1??3?????2?n?1（n≥3），且
解：先考虑偶数项有：
?1?S2n－S2n－2=－3·???2?2n?1
2n?3?1?S2n－2－S2n－4=－3·???2?……
?1?S4－S2=－3·??
?2?3n?1?1???1??????1?????2???4????，
将以上各式叠加得S2n－S2=－3×
11?43?1?所以S2n??2????2?2n?1(n≥1)．
再考虑奇数项有：
?1?S2n＋1－S2n－1=3·??
?2??1?S2n－1－S2n－3=3·???2?……
2n?22n
?1?S3－S1=3·??
?2?将以上各式叠加得S2n?1?1??2???(n?1)．
?2?2n2