函数与导数中任意性和存在性问题探究
一、相关结论：
结论1：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]min?m； 结论2：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]max?m； 结论3：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]max?m； 结论4：?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]min?m；
结论5：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]max；【如图一】 结论6：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]min；【如图二】 结论7：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]min；【如图三】 结论8：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]max；【如图四】
结论9：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?f(x)的值域和g(x)的值域交集不为空；
命题人：闫霄 审题人：冯昀山
结论10：?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?f(x)的值域是g(x)的值域的子集
【例题1】：已知两个函数f(x)?8x2?16x?k,g(x)?2x3?5x2?4x,x?[?3,3],k?R;
(1) 若对?x?[?3,3],都有f(x)?g(x)成立，求实数k的取值范围； (2) 若?x?[?3,3],使得f(x)?g(x)成立，求实数k的取值范围； (3) 若对?x1,x2?[?3,3],都有f(x1)?g(x2)成立，求实数k的取值范围；
解：（1）设h(x)?g(x)?f(x)?2x3?3x2?12x?k（,1）中的问题可转化为：x?[?3,3]时，h(x)?0恒成立，即[h(x)]min?0。
h'(x)?6x2?6x?12?6(x?2)(x?1)；当x变化时，h(x),h'(x)的变化情况列表如下：
x h(x) -3 k-45 (-3,-1) + 增函数 -1 0 极大值 (-1,2) － 减函数 2 0 极小值 (2,3) + 增函数 3 k-9 h?(x) 因为h(?1)?k?7,h(2)?k?20,
所以，由上表可知[h(x)]min?k?45，故k-45≥0，得k≥45,即k∈[45,+∞).
小结：①对于闭区间I，不等式f(x)
②此题常见的错误解法：由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. （2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)= g(x)－f(x) ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.
由（1）可知[h(x)]max= k+7，因此k+7≥0，即k∈[-7,+∞). (3)根据题意可知，（3）中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min，x∈[-3,3].
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由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120－k. 仿照（1），利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时, [g(x)]min=－21. 由120－k≥－21得k≥141,即k∈[141,+∞). 说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?x”恒成立，还是“?x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜..
【例题2】：(2010年山东理科22) 已知函数f(x)?lnx?ax?(1) 当a?① 当b<1时，因为[g(x)]min=g(1)=5－2b>0,此时与（※）矛盾；
② 当b∈[1,2]时, 因为[g(x)]min=4－b2≥0，同样与（※）矛盾； ③ 当b∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min=g(2)=8－4b.
117，可得b≥. 2817综上，b的取值范围是[,+∞).
8解不等式8－4b≤－
二、相关类型题：
类型一：直接求最值（往往需带参讨论） 例3：
1?a?1(a?R); x1时，讨论f(x)的单调性； 21时，若对?x1?(0,2，)?x2?[1,2],使42（2）设g(x)?x?2bx，当a??4f(x1)?g(x2)，求实数b的取值范围；
解：（1）（解答过程略去，只给出结论）
当a≤0时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
1时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减； 2111当0 2aa当a= （2）函数的定义域为（0，+∞）， 1a?11ax2?x?1?af?（x）=－a+2=－，a=时，由f?（x）=0可得x1=1,x2=3. 2x4xx11∈（0,），x2=3?（0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在421（1,2）上单调递增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)= －. 2由于“对?x1∈（0,2），?x2∈[1,2],使f(x1) ≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不 1大于f(x) 在（0,2）上的最小值f(1)= －”. （※） 2因为a= 又g(x)=(x－b)2+4－b2, x∈[1,2],所以 函数与导数中任意性和存在性探究共8页-2 类题： 例4： 类题： 函数与导数中任意性和存在性探究共8页-3