函数与导数中任意性和存在性问题探究
一、相关结论:
结论1:?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]min?m; 结论2:?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]max?m; 结论3:?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]max?m; 结论4:?x?[a,b],f(x)?m?[f(x)]min?m;
结论5:?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]max;【如图一】 结论6:?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]min;【如图二】 结论7:?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]min?[g(x)]min;【如图三】 结论8:?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?[f(x)]max?[g(x)]max;【如图四】
结论9:?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?f(x)的值域和g(x)的值域交集不为空;
命题人:闫霄 审题人:冯昀山
结论10:?x1?[a,b],?x2?[c,d],f(x1)?g(x2)?f(x)的值域是g(x)的值域的子集
【例题1】:已知两个函数f(x)?8x2?16x?k,g(x)?2x3?5x2?4x,x?[?3,3],k?R;
(1) 若对?x?[?3,3],都有f(x)?g(x)成立,求实数k的取值范围; (2) 若?x?[?3,3],使得f(x)?g(x)成立,求实数k的取值范围; (3) 若对?x1,x2?[?3,3],都有f(x1)?g(x2)成立,求实数k的取值范围;
解:(1)设h(x)?g(x)?f(x)?2x3?3x2?12x?k(,1)中的问题可转化为:x?[?3,3]时,h(x)?0恒成立,即[h(x)]min?0。
h'(x)?6x2?6x?12?6(x?2)(x?1);当x变化时,h(x),h'(x)的变化情况列表如下:
x h(x) -3 k-45 (-3,-1) + 增函数 -1 0 极大值 (-1,2) - 减函数 2 0 极小值 (2,3) + 增函数 3 k-9 h?(x) 因为h(?1)?k?7,h(2)?k?20,
所以,由上表可知[h(x)]min?k?45,故k-45≥0,得k≥45,即k∈[45,+∞).
小结:①对于闭区间I,不等式f(x)
②此题常见的错误解法:由[f(x)]max≤[g(x)]min解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“[f(x)]max≤[g(x)]min”只是原题的充分不必要条件,不是充要条件,即不等价. (2)根据题意可知,(2)中的问题等价于h(x)= g(x)-f(x) ≥0在x∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max≥0.
由(1)可知[h(x)]max= k+7,因此k+7≥0,即k∈[-7,+∞). (3)根据题意可知,(3)中的问题等价于[f(x)]max≤[g(x)]min,x∈[-3,3].
函数与导数中任意性和存在性探究共8页-1
由二次函数的图像和性质可得, x∈[-3,3]时, [f(x)]max=120-k. 仿照(1),利用导数的方法可求得x∈[-3,3]时, [g(x)]min=-21. 由120-k≥-21得k≥141,即k∈[141,+∞). 说明:这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量.
从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“?x”恒成立,还是“?x”使之成立,同时还要看清不等式两边是同一个变量,还是两个独立的变量,