第7讲 抛物线
[基础题组练]
2
x2y2
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，
3pp则p＝( )
A．2 C．4
B．3 D．8
??解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为?，0?，椭圆的焦点坐标为(±2p，0)，所?2?
以＝2p，解得p＝8，故选D. 2
2．若点A，B在抛物线y＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为43，则该抛物线方程是( )
232
A．y＝x
3C．y＝23x
2
2
ppB．y＝3x D．y＝
2
2
3x 3
32
AB＝43，故AB4
解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是43，故
＝4，正三角形的高为23，故可设点A的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p，解得p＝
3232，故所求抛物线的方程为y＝x.故选A. 33
2
3．(2019·甘肃张掖诊断)过抛物线y＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，
y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A．9 C．7
2
B．8 D．6
解析：选B.抛物线y＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.
4．(2019·昆明调研)过抛物线C：y＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为( )
1A. 3
B.3 3
2
C.
3 2
D．1
解析：选B.设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.
因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.
11
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)
2211
＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l，所以直线l22的倾斜角为30°，斜率是
3
.故选B. 3
2
5．(2019·合肥模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y＝8x相交于A，B两点，
F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
1A. 32C. 3
2
B.D.
2 322
3
解析：选D.设抛物线C：y＝8x的准线为l，易知l：x＝－2， 直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，
由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|， 所以点B为线段AP的中点，连接OB， 1
则|OB|＝|AF|，
2
所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1， 因为k＞0，
所以点B的坐标为(1，22)， 22－022
所以k＝＝.故选D.
1－（－2）3
6．抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．
2
解析：设满足题意的圆的圆心为M. 根据题意可知圆心M在抛物线上， 又因为圆的面积为36π，
所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，即xM＝6－，
22又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8.
442所以抛物线方程为y＝16x. 答案：y＝16x
22
7．设抛物线C：y＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，
3→→
则FM·FN＝________．
23
解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由已知可得直线的方程为y＝(x＋2)，即x＝y－2，由
32
2
2
pppppy＝4x，??2
得y－6y＋8＝0. ?3
x＝y－2??2
由根与系数的关系可得y1＋y2＝6，y1y2＝8，
3（y1y2）→→所以x1＋x2＝(y1＋y2)－4＝5，x1x2＝＝4，因为F(1，0)，所以FM·FN＝(x1－
2161)·(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝4－5＋1＋8＝8.
答案：8
8．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M(－1，1)和抛物线C：y＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．
解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y??y＝k（x－1），222222
＝k(x－1)(k≠0)，由?2消去y得k(x－1)＝4x，即kx－(2k＋4)x＋k＝0，
?y＝4x，?
2
2
2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝
2k＋4
2
kk2??y＝k（x－1），
，x1x2＝1.由?2消去
?y＝4x，?
x得y2＝
44→→?1?2
4?y＋1?，即y－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得MA·MB＝(x1＋1，
?k?
k2k＋4
y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝2，x1x2＝1
2
k4
与y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2.
k??y1＝4x1，
法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则?2所以
?y2＝4x2，?
2
2
y21－y2＝4(x1－