专题14 定积分求值问题
【高考地位】
定积分的求值在高考中多以选择题、填空题类型考查，属于中低档题，其试题难度考查相对较小，重点考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理，注重定积分与其他知识的结合如三角函数、立体几何、解析几何等. 【方法点评】
类型一 利用微积分基本定理求定积分
使用情景：一般函数类型
解题模板：第一步 计算函数f(x)的定义域并求出函数f(x)的导函数f(x)；
第二步 求方程f(x)?0的根；
第三步 判断f(x)在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值.
例1 A．
'''??0sinxdx的值为（ ）
? B．? C．1 D．2 2【答案】D
【变式演练1】下列计算错误的是 （ ） A．?sinxdx?0 B．??ππ10xdx?2 3
πC．?cosxdx?2?cosxdx【答案】D 【解析】
π2π?2π20
D．?sin2xdx?0
?π试题分析：A选项，
??sinxdx???cosx???????0，所以A正确；B选项，?10?23?2xdx??x2??，所以B
?3?031正确；C选项，根据偶函数图象及定积分运算性质可知，C正确；D选项错误。 考点：定积分的计算。 【变式演练2】若S1?A．S1?S2?S3C．S2?S3?S1【答案】B 【解析】 试题分析：S1?
?21x2dx,S2??2121dx,S3??exdx,则S1S2S3的大小关系为（ ）
1xB．S2?S1?S3 D．S3?S2?S1
132722x|1?,S2?lnx|1?ln2,S3?ex|1?e2?e?S2?S1?S3 33考点：定积分运算 【变式演练3】
?21?111???2?3?dx?（ ）
x??xxA．ln2?77517 B．ln2? C．ln2? D．ln2? 8288【答案】A
考点：定积分的应用. 【变式演练4】若【答案】a?2 【解析】 试题分析：由
?a11(2x?)dx?3?ln2(a?1)，则a的值是___________．
x?a1?a2?1?312a2，所以a?2． (2x?)dx?(x?lnx)|1?a?lna?1?3?ln2，得?x?lna?ln2考点：定积分的运算． 【变式演练5】
?2?2(sinx?1)dx?_____________．
【答案】4 【解析】
试题分析：由题意得
?2?2(sinx?1)dx?(cosx?x)|2?2?(cos2?2)?[cos(?2)?2]?4．
考点：定积分的计算．
lgx??【变式演练6】设f(x)??ax??3t2dt?0?【答案】1
x?0x?0若f(f(1))?1，则a? ．
考点：1．函数的表示；2．定积分运算． 【变式演练7】如图，阴影部分的面积是（ ）
A．23 B．53 C．【答案】C 【解析】
3235 D． 33?x3?32?x2?3x?|1?试题分析：面积为??3?x?2x?dx???． ?3?33?3?12考点：定积分．
类型二 利用定积分的几何意义求定积分
使用情景：被积函数的原函数不易求出 解题模板：第一步 画出被积函数的图像；
第二步 作出直线计算函数x?a,x?b,y?0所围成的图形； 第三步 求曲边梯形的面积的代数和的方法求定积分.
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