求阴影面积的几种常用方法
1、直接用公式法
例1、如图1,在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，点D是BC的中点，将△ABD绕点A按逆时针旋转90°，得△AB’D’，那么AD在平面上扫过的区域（图中阴影部分）的面积是（ ） A.
?? B. C.π D. 2π 42分析：△ABD绕点A按逆时针旋转90°后，形成扇形ADD’，且扇形的圆心角为90°，故可用扇形的面积公式直接求其面积。 解：∵∠A=90°, 点D是BC的中点, ∴AD=
1BC=2, 290??22∴S阴影＝S扇形ADD'＝＝π.
360故选C. 2、加减法.
例2、如图2，正方形ABCD的边长为a,那么阴影部分的面积为（ ） A.
11112222πa B. πa C. πa D. πa 28164分析：阴影部分的面积可以看作是扇形BCD的面积减去半圆CD的面积。 解：S阴影＝S扇形CBD－S半圆CD
90?a21a2 ＝－π（）
360221122πa－πa
8412 ＝πa.
8 ＝
所以本题答案选C. 3、割补法 例3、如图3，以BC为直径，在半径为2且圆心角为90°的扇形内做半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ） A. π－1 B. π－2 C.
11π－1 D. π－2 22分析：因为BC为半圆的直径，所以CD⊥AB，CD=BD，所以S弓形CD= S弓形BD，即S阴影＝S扇形CAB－S?ADC.
解：∵S弓形CD= S弓形BD ∴S阴影＝S扇形CAB－S?ADC
90??221 =－×2×2
3602 ＝π－1.
故选A.
4、等积变形法
例4、如图4，已知半圆的直径AB=4cm，点C、D是这个半圆的三等分点，则弦AC、AD和弧CD围成的的阴影部分的面积为 cm2.
分析：因为C、D是半圆的三等分点，所以能够论证CD∥AB，所以S?ACD= S?OCD，所以S阴影＝S扇形OCD
解：连接OC、OC、CD
∵C、D是半圆的三等分点， ∴CD∥AB
∴S?ACD= S?OCD（同底等高），
60??222∴S阴影＝S扇形OCD==π.
36035、覆盖法
例5、如图5所示，正方形的边长为a，分别以对角顶点为圆心，边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积是多少？
分析：阴影部分的面积可以看作是两个扇形的重叠部分。 解：S阴影＝2S扇形ABD－S正方形ABCD
90??a2 ＝2×－a2
360 ＝
?a22－a2 ＝（
?－1）a2. 26、构造方程法
例6、如图6所示，正方形的边长为6，以边长为直径在正方形内画半圆，则所围成的图形（阴影部分）的面积为 。
分析：本题虽可以转化为规则图形的面积和差计算阴影 部分面积，但在作图中比较麻烦。这儿的阴影部分和空 白部分都有四部分组成，且形状大小一样。因此可以根据 图形中隐含的数量关系来构造方程求解。
解：设每一部阴影部分面积为x，每一部分的空白
?32?2x?y?部分面积为y，根据图形得 ??2?4x?4y?36 ?9?? x??9
?2?9??y?18?2?
解得
所以阴影部分面积=4x=4(
9?－9)＝18π－36. 2注：此题有多种解答方法，如覆盖法，在此仅以此例说明构造方程法的应用。 练习：
1、如图7，⊙O的半径为10cm，在⊙O中，直径AB与CD垂直，以点B为圆心，BC为半径的扇形CBD的面积是多少？
2、如图8所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，分别以A、B、C为圆心，以
1AC2为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是多少？
3、如图9，△ABC 为等腰直角三角形，AC=3，以BC为直径的半圆与斜边AB交于点D，则图中阴影部分的面积是多少？
4、如图10，A是半径为2的⊙O外的一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积等于多少？ 练习答案：1、50πcm2；2、2－?92；3、；4、π. 324