∵AD＝ED， ∴ED＝CF， 又∵ED∥CF，
∴四边形CDEF是平行四边形，
22．（2019秋?淮阴区期末）A，B，C，D是长方形纸片的四个顶点，点E、F、H分别是边AB、BC、AD上的三点，连结EF、FH．
（1）将长方形纸片ABCD按图①所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，点B'在FC'上，则∠EFH的度数为 90° ；
（2）将长方形纸片ABCD按图②所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠B'FC'＝18°，求∠EFH的度数；
（3）将长方形纸片ABCD按图③所示的方式折叠，FE、FH为折痕，点B、C、D折叠后的对应点分别为B'、C'、D'，若∠EFH＝m°，求∠B'FC'的度数为 180°﹣2m° ．
【分析】（1）依据折叠的性质，即可得到∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH，进而得出∠
EFH（∠BFB'+∠CFC'）；
（2）可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，依据2x+18°+2y＝180°，即可得到
x+y＝81°，进而得到∠EFH＝x+18°+y＝99°；
（3）可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y，即可得到x+y＝180°﹣m°，再根据∠
EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y，即可得到∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH═180°
﹣2m°．
【解答】解：（1）∵沿EF，FH折叠， ∴∠BFE＝∠B'FE，∠CFH＝∠C'FH， ∵点B′在FC′上， ∴∠EFH（∠BFB'+∠CFC'）
180°＝90°，
故答案为：90°； （2）∵沿EF，FH折叠，
∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y， ∵2x+18°+2y＝180°， ∴x+y＝81°，
∴∠EFH＝x+18°+y＝99°； （3）∵沿EF，FH折叠，
71
∴可设∠BFE＝∠B'FE＝x，∠C'FH＝∠CFH＝y， ∴∠EFH＝180°﹣∠BFE﹣∠CFH＝180°﹣（x+y）， 即x+y＝180°﹣m°，
又∵∠EFH＝∠EFB'﹣∠B'FC'+∠C'FH＝x﹣∠B'FC'+y， ∴∠B'FC'＝（x+y）﹣∠EFH＝180°﹣m°﹣m°＝180°﹣2m°， 故答案为：180°﹣2m°．
23．（2019秋?丹阳市期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M、
N分别是边AC、AB上的动点，连接MN，将△AMN沿MN所在直线翻折，翻折后点A的对应点为A′．
（1）如图1，若点A′恰好落在边AB上，且ANAC，求AM的长；
（2）如图2，若点A′恰好落在边BC上，且A′N∥AC． ①试判断四边形AMA′N的形状并说明理由； ②求AM、MN的长；
（3）如图3，设线段NM、BC的延长线交于点P，当【分析】（1）利用相似三角形的性质求解即可． （2）①根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． ②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，由MA′∥AB，可得程求出x，解直角三角形求出OM即可解决问题．
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．想办法求出NH，CM，利用平行线分线段成比例定理，构建方程解决问题即可． 【解答】解：（1）如图1中，
，由此构建方
且
时，求CP的长．
72
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB∴△ANM∽△ACB， ∴∴∴AM， ， ．
5，
∵∠A＝∠A，∠ANM＝∠C＝90°，
（2）①如图2中，
∵NA′∥AC， ∴∠AMN＝∠NMA′，
由翻折可知：MA＝MA′，∠AMN＝∠NMA′， ∴∠MNA′＝∠A′MN， ∴A′N＝A′M，
∴AM＝A′N，∵AM∥A′N， ∴四边形AMA′N是平行四边形， ∵MA＝MA′，
∴四边形AMA′N是菱形．
②连接AA′交MN于O．设AM＝MA′＝x，
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∵MA′∥AB， ∴∴解得x∴AM∴CM∴CA′∴AA′
∵四边形AMA′N是菱形， ∴AA′⊥MN，OM＝ON，OA＝OA′∴OM∴MN＝2OM．
，
，
， ， ， ， ，
， ，
（3）如图3中，作NH⊥BC于H．
∵NH∥AC， ∴∴∴NH，BH ，
∴CH＝BC﹣BH＝3，
74
∴AMAC，
，
∴CM＝AC﹣AM＝4∵CM∥NH， ∴∴
∴PC＝1．
， ，
24．（2020春?鼓楼区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，
AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长
线于点H，连接AC，EF，GH．
（1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”） （2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
【分析】（1）证明∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，即可推出∠AHC＝∠ACG；
（2）结论：AC2＝AG?AH．只要证明△AHC∽△ACG即可解决问题；
（3）分三种情形讨论，利用等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求解即可解决问题； 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°，∠DAC＝∠BAC＝45°， ∴AC＝4
，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝∠ECF＝45°， ∴∠AHC＝∠ACG． 故答案为＝．
（2）结论：AC2＝AG?AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°， ∴△AHC∽△ACG，
75