AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P'S的最
小值．
问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点
F．分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H．若AG出FH的长．
，请直接写
【分析】问题情境：过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，证出四边形MBFN为平行四边形，得出NF＝MB，证明△ABE≌△BCF得出BE＝CF，即可得出结论； 问题探究：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，证出△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI，证明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH＝∠QEI，得出△AQE是等腰直角三角形，得出∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即可得出结论；
（2）连接AC交BD于点O，则△APN的直角顶点P在OB上运动，设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′，由等腰直角三角形的性质得出∠ODA＝∠ADO′＝45°，当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC，证明△APB≌△CPB得出∠
BAP＝∠BCP，证明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG＝NH，GN＝P'H，由正方形的性质得出
∠PDG＝45°，易得出PG＝GD，得出GN＝DH，DH＝P'H，得出∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，点P'在线段DO'上运动；过点S作SK⊥DO'，垂足为K，即可得出结果； 问题拓展：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，则EG＝
AG，PH＝FH，得出AE＝5，由勾股定理得出BE3，得出CE＝BC，证明△AGM∽△
﹣BE＝1，证明△ABE∽△QCE，得出QEAE，AQ＝AE+QEABE，得出AM90°，求出B'M＝4
，由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝
，AC'＝1，证明△AFC'∽△MAB'，得出AF，得出FH，DF，证明△DFP∽△DAQ，得出FPFP．
【解答】问题情境：
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解：线段DN、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB＝EC；理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
过点B作BF∥MN分别交AE、CD于点G、F，如图1所示：
∴四边形MBFN为平行四边形， ∴NF＝MB， ∴BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF，
∵DN+NF+CF＝BE+EC， ∴DN+MB＝EC； 问题探究：
解：（1）连接AQ，过点Q作HI∥AB，分别交AD、BC于点H、I，如图2所示：
，
∵四边形ABCD是正方形， ∴四边形ABIH为矩形，
∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BDA＝45°，
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∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI， ∵MN是AE的垂直平分线， ∴AQ＝QE，
在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°，
∴△AQE是等腰直角三角形，
∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （2）连接AC交BD于点O，如图3所示：
，
则△APN的直角顶点P在OB上运动，
设点P与点B重合时，则点P′与点D重合；设点P与点O重合时，则点P′的落点为O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°，
当点P在线段BO上运动时，过点P作PG⊥CD于点G，过点P′作P′H⊥CD交CD延长线于点H，连接PC， ∵点P在BD上， ∴AP＝PC， 在△APB和△CPB中，∴△APB≌△CPB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵AB∥CD， ∴∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC，
，
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∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+PNG＝90°，
∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性质得：PN＝P′N， 在△PGN和△NHP'中，∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠PDG＝45°， 易得PG＝GD， ∴GN＝DH， ∴DH＝P'H，
∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°， ∴点P'在线段DO'上运动； 过点S作SK⊥DO'，垂足为K， ∵点S为AD的中点， ∴DS＝2，则P'S的最小值为问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
；
，
则EG＝AG∴AE＝5， 在Rt△ABE中，BE3，
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，PH＝FH，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC， ∴△ABE∽△QCE， ∴∴QE3，
AE，
，
∴AQ＝AE+QE∵AG⊥MN，
∴∠AGM＝90°＝∠B， ∵∠MAG＝∠EAB， ∴△AGM∽△ABE， ∴解得：AM，即
，
，
由折叠的性质得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°， ∴B'M∵∠BAD＝90°， ∴∠B'AM＝∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'， ∴解得：AF∴DF＝4
， ， ，
，AC'＝1，
∵AG⊥MN，FH⊥MN， ∴AG∥FH， ∴AQ∥FP， ∴△DFP∽△DAQ， ∴解得：FP∴FH，即， ．
，
FP点评：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、相
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