似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 3．（2019年无锡中考副卷第28题）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD． （1）请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由； （2）求当A、E、F三点在一直线上时CD的长；
（3）设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到ABBC＝4，根据勾股定理得到
AF2，如图1，当AE在AB左上方时，如图2，当
AE在AB右下方时，即可得到结论；
（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BGBF＝2，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线的定理得到
AG＝2FM，根据三角形的三边关系即可得到结论．
【解析】（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝∠EBD＝45°， ∴∠ABE＝∠CBD， ∵∴
，，
，
∴△ABE∽△CBD； （2）∵△ABE∽△CBD， ∴∴CD，
AE， BC＝4
，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°， ∴AB∵当A、E、F三点在一直线上时， ∵∠AFB＝90°，
21
∴AF2，
2，
如图1，当AE在AB左上方时，AE＝AF﹣EF＝2
∴CD；
如图2，当AE在AB右下方时，
同理，AE＝AF+EF＝2∴CD；
2，
或
；
综上所述，当A、E、F三点在一直线上时，CD的长为（3）如图3，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，
则△BFG是等腰直角三角形， ∴BGBF＝2，
设M为AE的中点， 连接MF，
∴MF是△AGE的中位线， ∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG， ∴2∴
AG≤6FM≤3
， ．
点评：本题考查了相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 4．（2019年盐城中考第25题）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
22
（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④． 【探究】
（1）证明：△OBC≌△OED；
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式．
【分析】（1）利用折叠性质，由边角边证明△OBC≌△OED；
（2）过点O作OH⊥CD于点H．由（1）△OBC≌△OED，OE＝OB，BC＝x，则AD＝
DE＝x，则CE＝8﹣x，OHCD＝4，则EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4在Rt△
OHE中，由勾股定理得OE2＝OH2+EH2，即OB2＝42+（x﹣4）2，所以y关于x的关
系式：y＝x2﹣8x+32．
【解析】（1）证明：由折叠可知，AD＝ED，∠BCO＝∠DCO＝∠ADO＝∠CDO＝45° ∴BC＝DE，∠COD＝90°，OC＝OD， 在△OBC≌△OED中，
，
∴△OBC≌△OED（SAS）；
（2）过点O作OH⊥CD于点H．
由（1）△OBC≌△OED，
OE＝OB，
∵BC＝x，则AD＝DE＝x， ∴CE＝8﹣x，
∵OC＝OD，∠COD＝90° ∴CHCDAB4，
23
OHCD＝4，
∴EH＝CH﹣CE＝4﹣（8﹣x）＝x﹣4 在Rt△OHE中，由勾股定理得
OE2＝OH2+EH2，
即OB2＝42+（x﹣4）2，
∴y关于x的关系式：y＝x2﹣8x+32．
点评：本题是四边形综合题，熟练运用轴对称的性质和全等三角形的判定以及勾股定理是解题的关键．
5．（2019?扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、
B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．
（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为 4或0 ； （2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为 5否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；
（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．
；
（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是
【分析】（1）证明△APB′是等边三角形即可解决问题． 求出OB即可解决问题．
（3）如图3中，结论：面积不变．证明BB′∥AC即可．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，求出B′E即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8， ∵PB＝4，
24
∴PB′＝PB＝PA＝4， ∵∠A＝60°，
∴△APB′是等边三角形， ∴AB′＝AP＝4．
当直线l经过C时，点B′与A重合，此时AB′＝0 故答案为4或0．
（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．
∵PE∥AC，
∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB＝5，
∴∵B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′＝2OB ∴OB＝PB?sin60°∴BB′＝5故答案为5
． ．
，
（3）如图3中，结论：面积不变．
∵B，B′关于直线l对称， ∴BB′⊥直线l， ∵直线l⊥AC， ∴AC∥BB′， ∴S△ACB′＝S△ACB8
8＝16．
（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，
25