设直线PB′交AC于E， ∴PE＝PA?sin60°∴B′E＝6
，
8×（6，
在Rt△APE中，∵PA＝2，∠PAE＝60°，
∴S△ACB′的最大值）＝424．
解法二：如图5中，过点P作PH垂直于AC，
由题意可得：B’在以P为圆心半径长为6的圆上运动， 当PH的延长线交圆P于点B′时面积最大， 此时BH＝6
，S△ACB′的最大值
8×（6
）＝4
24．
点评：本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
6．（2019年南京中考第26题）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上． 小明的作法
1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G． 2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．
3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形． （1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．
（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继
26
续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．
【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （2）求出几种特殊位置的CD的值判断即可． 【解答】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE， ∴DG＝EF， ∵DG∥EF，
∴四边形DEFG是平行四边形， ∵DG＝DE，
∴四边形DEFG是菱形．
（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB则CD5，
x，ADx，
∵AD+CD＝AC， ∴∴x∴CDx＝3，
，
x，
时，菱形的个数为0．
观察图象可知：0≤CD如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
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∵DG∥AB， ∴∴解得m∴CD＝3
， ， ，
，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG∥AB， ∴∴∴n，
，
， 或
， ，
∴CG＝4∴CD观察图象可知：当0≤CD时，菱形的个数为1，当
CD≤3时，菱形的个数为0，当CD时，菱形的个数为2．
或CDCD点评：本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度． 【专项突破】
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【题组一】
1．（2020?海门市校级模拟）已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC． （1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA＝EC；
（2）若点P在线段AB上，如图2，当点P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将正方形ABCD固定，正方形BPEF绕点B旋转一周，设AB＝4，BP＝a，若在旋转过程中△ACE面积的最小值为4，请直接写出a的值．
【分析】（1）根据正方形的性质证明△APE≌△CFE，可得结论；
（2）分别证明∠PAE＝45°和∠BAC＝45°，则∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形； （3）如图3中，连接BD交AC于O．因为点E的运动轨迹是以B为圆心，题多解）．
【解答】证明：（1）如图1中，
a为半径
的圆，推出当点E在线段OB上时，△ACE的面积最小，构建方程即可解决问题（注意一
∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形， ∴AB＝BC，BP＝BF， ∴AP＝CF，
在△APE和△CFE中， ∵
，
∴△APE≌△CFE， ∴EA＝EC；
（2）△ACE是直角三角形， 理由是：如图2中，
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∵P为AB的中点， ∴PA＝PB， ∵PB＝PE， ∴PA＝PE， ∴∠PAE＝45°， 又∵∠BAC＝45°，
∴∠CAE＝90°，即△ACE是直角三角形； （3）如图3中，连接BD交AC于O．
∵点E的运动轨迹是以B为圆心，
a为半径的圆，
∴当点E在线段OB上时，△ACE的面积最小， ∵∴OE∵BE＝2∴a＝1，
∴满足条件的a的值为1． 【题组二】
2．（2019秋?青龙县期末）在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是边
AC×OE＝4，
，
AB、AC（含线段AB、AC的端点）上的动点，且∠EDF＝120°，小明和小慧对这个图形
展开如下研究： 问题初探：
（1）如图1，小明发现：当∠DEB＝90°时，BE+CF＝nAB，则n的值为 问题再探：
（2）如图2，在点E、F的运动过程中，小慧发现两个有趣的结论：
①DE始终等于DF；②BE与CF的和始终不变；请你选择其中一个结论加以证明． 成果运用
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；