（3）若边长AB＝4，在点E、F的运动过程中，记四边形DEAF的周长为L，L＝
DE+EA+AF+FD，则周长L的变化范围是 26≤L≤10 ．
【分析】（1）先利用等边三角形判断出BD＝CD出∠DFC＝90°，得出CFAB，进而判断出BEBD，再判断
CD，即可得出结论；
（2）①构造出△EDG≌△FDH（ASA），得出DE＝DF，即可得出结论； ②由（1）知，BG+CH出结论；
（3）由（1）（2）判断出L＝2DE+6，再判断出DE⊥AB时，L最小，点F和点C重合时，DE最大，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC， ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CDAB，由①知，△EDG≌△FDH（ASA），得出EG＝FH，即可得
BCAB，
∵∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝90°﹣∠B＝30°， 在Rt△BDE中，BEBD，
∵∠EDF＝120°，∠BDE＝30°， ∴∠CDF＝180°﹣∠BDE﹣∠EDF＝30°， ∵∠C＝60°， ∴∠DFC＝90°， 在Rt△CFD中，CF∴BE+CFCD，
BCAB，
BD∵BE+CF＝nAB， ∴n，
故答案为；
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（2）如图2，
①过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴∠DGB＝∠AGD＝∠CFD＝∠AHF＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°，
∴∠GDH＝360°﹣∠AGD﹣∠AHD﹣∠A＝120°， ∵∠EDF＝120°， ∴∠EDG＝∠FDH，
∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DG⊥AB，DH⊥AC， ∴DG＝DH， 在△EDG和△FDH中，∴△EDG≌△FDH（ASA）， ∴DE＝DF，
即：DE始终等于DF； ②同（1）的方法得，BG+CH由①知，△EDG≌△FDH（ASA）， ∴EG＝FH，
∴BE+CF＝BG﹣EG+CH+FH＝BG+CH∴BE与CF的和始终不变
（3）由（2）知，DE＝DF，BE+CF∵AB＝4， ∴BE+CF＝2，
∴四边形DEAF的周长为L＝DE+EA+AF+FD ＝DE+AB﹣BE+AC﹣CF+DF
32
，
AB，
AB，
AB，
＝DE+AB﹣BE+AB+DE ＝2DE+2AB﹣（BE+CF） ＝2DE+2×4﹣2 ＝2DE+6，
∴DE最大时，L最大，DE最小时，L最小， 当DE⊥AB时，DE最小， 由（1）知，BG∴DE最小∴L最小＝2∵∠B＝60°，
∴∠B＝∠BDE＝∠BED＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝BDBD＝1，
，
BG6，
当点F和点C重合时，DE最大，此时，∠BDE＝180°﹣∠EDF＝120°＝60°，
AB＝2，
即：L最大＝2×2+6＝10， ∴周长L的变化范围是2故答案为2
6≤L≤10．
6≤L≤10，
3．（2019秋?张家港市期末）在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处．
（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为 18 °． （2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝6，AD＝10，求CE的长．
（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB＝6，AD＝10，求CG的长．
【分析】（1）由矩形的性质和已知得出∠DAC＝90°﹣54°＝36°，由折叠的性质得∠DAE＝∠FAE，得出∠DAE∠DAC＝18°即可；
（2）由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，由折叠的性质得
AF＝AD＝10，EF＝ED，由勾股定理得出BF8，得出CF＝BC﹣BF＝2，
设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
33
（3）连接EG，证明Rt△CEG≌△FEG（HL），得出CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝
AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程
即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝54°，
∴∠DAC＝90°﹣54°＝36°， 由折叠的性质得：∠DAE＝∠FAE， ∴∠DAE∠DAC＝18°；
故答案为：18；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6， 由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED， ∴BF∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2， 设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2＝（6﹣x）2， 解得：x，
8，
即CE的长为；
（3）连接EG，如图3所示：
∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE，
由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE， ∴∠EFG＝90°＝∠C， 在Rt△CEG和△FEG中，∴Rt△CEG≌△FEG（HL）， ∴CG＝FG，
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，
设CG＝FG＝y，
则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2＝（10+y）2， 解得：y， ．
即CG的长为
4．（2020?兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN丁点Q，连接CM． （1）求证：PM＝PN；
（2）当P，A重合时，求MN的值；
（3）若△PQM的面积为S，求S的取值范围．
【分析】（1）想办法证明∠PMN＝∠PNM即可解决问题．
（2）点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN．
（3）当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可． 【解答】（1）证明：如图1中，
∵四边形ABCD是矩形， ∴PM∥CN， ∴∠PMN＝∠MNC， ∵∠MNC＝∠PNM， ∴∠PMN＝∠PNM， ∴PM＝PN．
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