锐角三角函数专项解析与训练(一)

锐角三角函数专项解析与训练(一)

[例题精选]

例1 如图,在?ABC中,?ACB?90?,CD?AB于D,若AB?16,BC?12.求:sin?的值. 分析:要求sin?,必须把?放在某个直角三角形中,如图可知,

??的对边??在Rt?BCD中,根据锐角正弦概念,sin??,

斜边BD即sin??,因此只需求BD即可.此外,还可以发现,

BC ????A,因此只要求出sinA,它就等于sin?。

解法一:Rt?ABC中,?ACB?90?,CD?AB于D

?BC?AB·BD2??ABC∽?CBD

Rt?ABC中,?ACB?90?,BC?12,AB?16

BC123?? AB1643?sin??sinA?.

4?sinA?

?BC?12,AB?16?BD?9?sin??BD93??.BC124

解法二:?Rt?ABC,?ACB?90?

??A??B?90?,?CD?AB于D?????B?90??????A

小结:求锐角三角函数值必须在直角三角形中求,不论直角三角形如何放置,都应能

结合图形,灵活准确地运用三角函数概念.另外,也应注意根据等角关系求三角函数值.

例2 计算: (1)tg230??2sin60?·cos45??tg45??ctg60??cos230?, (2)

sin30??tg45? .ctg30??2ctg45?分析:特殊锐角的三角函数值必须熟练记忆.计算时注意根式的运算,结果应化简. 解:(1)tg230??2sin60?cos45??tg45??ctg60??cos230?

22?3?323?3?????1?????2??32232????1633??1??3234763????1223?

1?1?23?21? 4?234?2316?122?3?2?

(2)

sin30??tg45?

ctg30??2ctg45?

例3 化简: (1)1?2tg60??tg260?;

(2)sin2??2sin??1,(其中0????90?).

分析:第(1)小题可化为(1?tg60?)2,根据公式a2?|a|可得|1?tg60?|,将tg60?代

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入即可进一步化简,第(2)小题同样可得|sin??1|,因sin????的对边,而在直角三

斜边角形中,斜边为最长边,所以对于任何锐角?,0?sin??1,同理0?cos??1.这个性质会经常用到.

解:(1)1?2tg60??tg260?

?(sin??1)2?|sin??1|?(1?tg60?)2

?|1?tg60?|?|1?3|?3?1;

?0????90??0?sin??1?原式?1?sin? (2)sin2??2sin??1

例4 (1)已知:cos43?26??0.7262,求sin46?34?.

(2)求tg35?.

ctg55? 分析:本题所求都不是特殊锐角三角函数值,不能代入数值,但可发现角度间关系,即43?26?与46?34?互余,35?与55?也互余.因此应考虑应用互余两角的三角函数关系.

解:(1)?43?26?+46?34?=90?, ∴sin46?34?=cos43?26?=0.7262, (2)∵35?+55?=90?

5 ∴

tg35?tg35???1. ctg55?tg35?例5 已知:?为锐角,且sin??3,求:cos?,tg?和ctg?的值。

分析:sin??3,即??的对边比斜边为3,不妨设??的对边为3k,斜边为5k,则

55由勾股定理可求出??的邻边为4k,再根据锐角三角函数概念可求其余三角函数值. 另外,同一个锐角的三角函数之间有平方关系,倒数关系和商的关系,利用它们可以求其它三角函数,如根据sin2??cos2??1,可求cos?,进一步再求tg?和ctg?,应注意因为锐角三角函数都是正的,求cos?开方时应取正值.

3解:?sin2??cos2??1

sin?3?cos2??1?sin2??tg???5?cos?44??为锐角

5

?cos??014?ctg???.2?cos??1?sin?tg?3

?3??1????5??2

个公式结合起来灵活运用.

例6 计算:

45小结:同角三角函数关系可用来从一个三角函数求其它的锐角三角函数.要注意几

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(1)tg41?·tg43?·tg45?·tg47?·tg49?;

21?2cos?(2)?tg?·ctg?. 2sin2??1解:(1)

tg41?·tg43?·tg45?·tg47?·tg49?

?tg41?·tg43?·tg45?·ctg43?·ctg41??(tg41?·ctg41?)·(tg43?·ctg43?)·tg45??1;

小结:在化简或计算时,应把互为余角的三角函数关系和同角三角函数关系结合起来考虑.而且应灵活运用,如sin2??cos2??1,有时也须把1化成sin2??cos2?,以便化简或计算,这应结合题目具体情况.

例7 不求值,判断式子的符号:

(cos25??cos50?)(tg40??tg55?) .

1?2cos2?(2)?tg?·ctg? 22sin??1sin2??cos2??2cos2???12222sin??sin??cos?sin2??cos2? ??122sin??cos??1?1?0. 分析:要判断两式乘积的符号,只需知道这两个式子是正是负,而这两个式子又是两个三角函数式的差,要判断两数差是正是负,应知道两数谁大谁小.这就根据三角函数的增减性判断. 解:锐角的余弦值随角度的增大而减小,?25??50?,?cos25??cos50?,?cos25? ?cos50??0。而锐角的正切值随角度的增大而增大,?40??55?,?tg40??tg55?, ?tg40??tg55??0。

?(cos250?cos500)tg400?tg550?0 .

例8 选择题: 已知??为锐角,cos??0.75,则?的范围是( ).

B.30????45? C.45????60? D.60????90?

321 分析:我们知道cos30??,cos45??,cos60??,根据锐角三角函数的增减性,

222要判断?的范围,只需知道??的余弦值的位置.

32 因此选B.

解:?cos30?? ,cos45??22 答案:B. 23 而?0.75?22?30????45?

A.0????30?

例9 查表求值:(1)sin51?12?;(2)sin18?41?;(3)cos59?42?;(4)cos25?17?. 分析:查表时应注意锐角三角函数的增减性,尤其查余弦值时,应看右边和下边,而且角度每增加1?,余弦值相应减小. 解:(1)sin51?12?=0.7793; (3)cos59?42?=0.5045; (2)sin18?42?=0.3206 (4)cos25?18?=0.9041 角度减1?值减0.0003 角度减1?,值增0.0001

?cos25?17?=0.9042. ?sin18?41?=0.3203;

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