锐角三角函数专项解析与训练（一）
[例题精选]
例1 如图，在?ABC中,?ACB?90?,CD?AB于D,若AB?16,BC?12.求：sin?的值． 分析：要求sin?，必须把?放在某个直角三角形中，如图可知，
??的对边??在Rt?BCD中，根据锐角正弦概念，sin??，
斜边BD即sin??，因此只需求BD即可．此外，还可以发现，
BC ????A，因此只要求出sinA,它就等于sin?。
解法一：Rt?ABC中，?ACB?90?,CD?AB于D
?BC?AB·BD2??ABC∽?CBD
Rt?ABC中，?ACB?90?，BC?12，AB?16
BC123?? AB1643?sin??sinA?.
4?sinA?
?BC?12，AB?16?BD?9?sin??BD93??.BC124
解法二：?Rt?ABC,?ACB?90?
??A??B?90?,?CD?AB于D?????B?90??????A
小结：求锐角三角函数值必须在直角三角形中求，不论直角三角形如何放置，都应能
结合图形，灵活准确地运用三角函数概念．另外，也应注意根据等角关系求三角函数值．
例2 计算： （1）tg230??2sin60?·cos45??tg45??ctg60??cos230?, （2）
sin30??tg45? .ctg30??2ctg45?分析：特殊锐角的三角函数值必须熟练记忆．计算时注意根式的运算，结果应化简． 解：（1）tg230??2sin60?cos45??tg45??ctg60??cos230?
22?3?323?3?????1?????2??32232????1633??1??3234763????1223?
1?1?23?21? 4?234?2316?122?3?2?
（2）
sin30??tg45?
ctg30??2ctg45?
例3 化简： （1）1?2tg60??tg260?;
（2）sin2??2sin??1,(其中0????90?)．
分析：第（1）小题可化为(1?tg60?)2，根据公式a2?|a|可得|1?tg60?|，将tg60?代
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入即可进一步化简，第（2）小题同样可得|sin??1|，因sin????的对边，而在直角三
斜边角形中，斜边为最长边，所以对于任何锐角?，0?sin??1,同理0?cos??1．这个性质会经常用到．
解：（1）1?2tg60??tg260?
?(sin??1)2?|sin??1|?(1?tg60?)2
?|1?tg60?|?|1?3|?3?1;
?0????90??0?sin??1?原式?1?sin? （2）sin2??2sin??1
例4 （1）已知：cos43?26??0.7262，求sin46?34?.
（2）求tg35?．
ctg55? 分析：本题所求都不是特殊锐角三角函数值，不能代入数值，但可发现角度间关系，即43?26?与46?34?互余，35?与55?也互余．因此应考虑应用互余两角的三角函数关系．
解：（1）?43?26?+46?34?=90?, ∴sin46?34?=cos43?26?=0.7262, （2）∵35?+55?=90?
5 ∴
tg35?tg35???1. ctg55?tg35?例5 已知：?为锐角，且sin??3，求：cos?,tg?和ctg?的值。
分析：sin??3，即??的对边比斜边为3，不妨设??的对边为3k，斜边为5k，则
55由勾股定理可求出??的邻边为4k，再根据锐角三角函数概念可求其余三角函数值． 另外，同一个锐角的三角函数之间有平方关系，倒数关系和商的关系，利用它们可以求其它三角函数，如根据sin2??cos2??1，可求cos?,进一步再求tg?和ctg?，应注意因为锐角三角函数都是正的，求cos?开方时应取正值．
3解：?sin2??cos2??1
sin?3?cos2??1?sin2??tg???5?cos?44??为锐角
5
?cos??014?ctg???.2?cos??1?sin?tg?3
?3??1????5??2
个公式结合起来灵活运用．
例6 计算：
45小结：同角三角函数关系可用来从一个三角函数求其它的锐角三角函数．要注意几
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（1）tg41?·tg43?·tg45?·tg47?·tg49?;
21?2cos?（2）?tg?·ctg?． 2sin2??1解：（1）
tg41?·tg43?·tg45?·tg47?·tg49?
?tg41?·tg43?·tg45?·ctg43?·ctg41??(tg41?·ctg41?)·(tg43?·ctg43?)·tg45??1;
小结：在化简或计算时，应把互为余角的三角函数关系和同角三角函数关系结合起来考虑．而且应灵活运用，如sin2??cos2??1,有时也须把1化成sin2??cos2?，以便化简或计算，这应结合题目具体情况．
例7 不求值，判断式子的符号：
(cos25??cos50?)(tg40??tg55?) ．
1?2cos2?（2）?tg?·ctg? 22sin??1sin2??cos2??2cos2???12222sin??sin??cos?sin2??cos2? ??122sin??cos??1?1?0. 分析：要判断两式乘积的符号，只需知道这两个式子是正是负，而这两个式子又是两个三角函数式的差，要判断两数差是正是负，应知道两数谁大谁小．这就根据三角函数的增减性判断． 解：锐角的余弦值随角度的增大而减小，?25??50?,?cos25??cos50?,?cos25? ?cos50??0。而锐角的正切值随角度的增大而增大，?40??55?，?tg40??tg55?， ?tg40??tg55??0。
?(cos250?cos500)tg400?tg550?0 ．
例8 选择题： 已知??为锐角，cos??0.75,则?的范围是（ ）．
B．30????45? C．45????60? D．60????90?
321 分析：我们知道cos30??,cos45??,cos60??,根据锐角三角函数的增减性，
222要判断?的范围，只需知道??的余弦值的位置．
32 因此选B．
解：?cos30?? ,cos45??22 答案：B． 23 而?0.75?22?30????45?
A．0????30?
例9 查表求值：（1）sin51?12?;（2）sin18?41?；（3）cos59?42?；（4）cos25?17?． 分析：查表时应注意锐角三角函数的增减性，尤其查余弦值时，应看右边和下边，而且角度每增加1?，余弦值相应减小． 解：（1）sin51?12?=0.7793； （3）cos59?42?=0.5045; （2）sin18?42?=0.3206 （4）cos25?18?=0.9041 角度减1?值减0.0003 角度减1?，值增0.0001
?cos25?17?=0.9042． ?sin18?41?=0.3203;
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