四川省绵阳市高中2014届高三第二次诊断性考试(数学理)(纯word版)

1121n1n?1于是Tn??[1(?)+?+?n?1?(?)?n(?)],

222211?[1?()n]111112?n?(1)n?1,两式相减得:Tn??[+()2+?+()n?n?()n?1]=?2

12222221?21∴ Tn??n?2??()n?2.

2Tn?21n1?()≥,解得n≤4, n?2216∴ n的最大值为4. ??????????????????????12分

18.解:(I)∵ 抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,

120?x=0.05,解得x=60. ??????????????????2分 3600∴ 持“无所谓”态度的人数共有3600-2100-120-600-60=720. ??? 4分

360

∴ 应在“无所谓”态度抽取720× =72人. ?????????? 6分

3600

(Ⅱ)由(I)知持“应该保留”态度的一共有180人,

12060?6=4人,社会人士为?6=2人, 180180于是第一组在校学生人数ξ=1,2,3, ?????????????? 8分

∴ 在所抽取的6人中,在校学生为

122130C4C21C4C23C4C21P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=???, 333C65C65C65即ξ的分布列为:

ξ 1 2 3 P 1 53 51 5 ??????? 10分

131+2×+3×=2. ????????????????? 12分 55519.(I)证明:如图,作 FG∥EA,AG∥EF,z ∴ Eξ=1×

连结EG交AF于H,连结BH,BG, ∵ EF∥CD且EF=CD, ∴ AG∥CD,

即点G在平面ABCD内. 由AE⊥平面ABCD知AE⊥AG,

数学(理科)试题第 6 页(共4页) E HHF A D y x G B C ∴ 四边形AEFG为正方形,

CDAG为平行四边形, ???????????????????? 2分 ∴ H为EG的中点,B为CG中点, ∴ BH∥CE,

∴ CE∥面ABF.???????????????????????? 4分 (Ⅱ)证明:∵ 在平行四边形CDAG中,∠ADC=90o, ∴ BG⊥AG.

又由AE⊥平面ABCD知AE⊥BG, ∴ BG⊥面AEFG,

∴ BG⊥AF.?????????????????????????? 6分 又∵ AF⊥EG, ∴ AF⊥平面BGE,

∴ AF⊥BE.?????????????????????????? 8分 (Ⅲ)解:如图,以A为原点,AG为x轴,AE为y轴,AD为z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

则A(0,0,0),G(1,0,0),E(0,0,1),D(0,2,0),设M(1,y0,0),

?????????2,?1),DM?(1,y0?2,0), ∴ ED?(0,设面EMD的一个法向量n?(x,y,z), ?????n?ED?2y?z?0,?则????? 令y=1,得z?2,x?2?y0, ???n?DM?x?(y0?2)y?0,∴ n?(2?y0,,12).?????????????????????? 10分

????又∵ AE?面AMD,

????0,1)为面AMD的法向量, ∴ AE?(0,????∴ |cos|?|2|1?(2?y0)2?1?4?cos?6?3, 2解得y0?2?3, 333.?????????12分 )|=33故在BC上存在点M,且|CM|=|2?(2?y2x220.解:(I)设椭圆的标准方程为2?2?1(a>b>0),焦距为2c,

ab则由题意得 c=3,2a?∴ a=2,b2?a2?c2=1,

数学(理科)试题第 7 页(共4页)

33?(1?3)2??(1?3)2?4, 44y2∴ 椭圆C的标准方程为?x2?1. ??????????????? 4分

4∴ 右顶点F的坐标为(1,0).

设抛物线E的标准方程为y2?2px(p?0), ∴

p?1,2p?4, 2∴ 抛物线E的标准方程为y2?4x. ???????????????? 6分

1(Ⅱ)设l1的方程:y?k(x?1),l2的方程y??(x?1),

kA(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4), ?y?k(x?1),由?2 消去y得:k2x2?(2k2?4)x?k2?0, ?y?4x,∴ x1+x2=2+

4,x1x2=1. 2k1??y??(x?1),由? 消去y得:x2-(4k2+2)x+1=0, k2??y?4x,∴ x3+x4=4k2+2,x3x4=1,????????????????????9分 ????????????????????????∴ AG?HB?(AF?FG)?(HF?FB)

=AF?HF?AF?FB?FG?HF?FG?FB =|AF|·|FB|+|FG|·|HF| =|x1+1|·|x2+1|+|x3+1|·|x4+1|

=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1) =8+

42 ?4k2k4?4k2 2k ≥8+2 =16.

41时,AG?HB有最小值16.????????13分 ?4k2即k=±2ka21.解:(I)∵x?[0,??)时,f(x)?ex(1?x2),

2当且仅当

a∴ f?(x)?ex(?x2?ax?1).

2由题意,f?(x)≥0在[0,??)上恒成立,

数学(理科)试题第 8 页(共4页)

当a=0时,f?(x)?ex>0恒成立,即满足条件.

当a≠0时,要使f?(x)≥0,而ex>0恒成立,

a故只需?x2?ax?1≥0在[0,??)上恒成立,即

2?a??0,??2解得a<0. ?a???02?a?0?1?0,??2综上,a的取值范围为a≤0.?????????????????? 4分 (Ⅱ)由题知f(x)≤x+1即为ex-①在x≥0时,要证明ex-只需证ex≤

a2xxe≤x+1. 2a2xxe≤x+1成立, 2a2xax?1xe?x?1,即证1≤x2?x, ① 22e1?ex?(x?1)exxa2x?1令g(x)?x?x,得g?(x)?ax?, ?ax?(ex)2ex2e整理得g?(x)?x(a?∵ x≥0时,

1), ex1≤1,结合a≥1,得g?(x)≥0, ex∴ g(x)为在[0,??)上是增函数,故g(x)≥g(0)=1,从而①式得证.

②在x≤0时,要使ex-只需证ex≤

a2xxe≤x+1成立, 2a2?xaxe?x?1,即证1≤x2e?2x?(x?1)e?x, ② 22ax2?2x令m(x)?e?(x?1)e?x,得m?(x)??xe?2x[ex?a(x?1)],

2而?(x)?ex?a(x?1)在x≤0时为增函数, 故?(x)≤?(0)?1?a≤0,从而m?(x)≤0,

∴ m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证. 综上所述,原不等式ex-

a2xxe≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立.?10分 2a2x0x0e?x0?1, 2(Ⅲ)要使f(x0)>x0+1成立,即ex0?数学(理科)试题第 9 页(共4页)

2ax0x?1变形为?0x0?1?0, ③

2eax2x?1要找一个x0>0使③式成立,只需找到函数t(x)??x?1的最小值,满足

2et(x)min?0即可.

∵ t?(x)?x(a?1), ex1,则x=-lna,取x0=-lna, a在0< x <-lna时,t?(x)?0,在x >-lna时,t?(x)?0,

令t?(x)?0得ex?即t(x)在(0,-lna)上是减函数,在(-lna,+∞)上是增函数, ∴ 当x=-lna时,t(x)取得最小值t(x0)?a(lna)2?a(?lna?1)?1 2a下面只需证明:(lna)2?alna?a?1?0在0?a?1时成立即可.

2又令p(a)?a(lna)2?alna?a?1, 21则p?(a)?(lna)2≥0,从而p(a)在(0,1)上是增函数,

2a则p(a)?p(1)?0,从而(lna)2?alna?a?1?0,得证.

2于是t(x)的最小值t(?lna)?0,

因此可找到一个常数x0??lna(0?a?1),使得③式成立.??????14分

数学(理科)试题第 10 页(共4页)

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4