1、(1)如图①,已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,求证:AC⊥CE.
(2)若将CD沿CB方向平移得到图②③的情形,其余条件不变,结论AC1⊥C2E还成立吗?请说明理由.
图①
2、(1)如图1△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?请证明你的结论;
(2)如果把原题中“动点D在边CA上,动点P边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条件不变,如图2所示,两点运动过程中∠BQP的大小保持不变.请你利用图2的情形,求证:∠BQP=60°;
(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC于E”,其他条件不变,如图3,则动点D,P在运动过程中,DE始终等于PE吗?写出证明过程.
图②
图③
图
图3 3、如图,梯形ABCD,AD∥BC,CE⊥AB,△BDC为等腰直角三角形,CE与BD交于F,连
接AF,G为BC中点,连接DG交CF于M. 证明:(1)CM=AB;(2)CF=AB+AF.
4、如图,已知∠AOB=120°,OM平分∠AOB,将等边三角形的一个顶点P放在射线OM上,两边分别与OA、OB(或其所在直线)交于点C、D. (1)如图①,当三角形绕点P旋转到PC⊥OA时,证明:PC=PD.
(2)如图②,当三角形绕点P旋转到PC与OA不垂直时,线段PC和PD相等吗?请说明理由.
(3)如图③,当三角形绕点P旋转到PC与OA所在直线相交的位置时,线段PC和PD相等吗?直接写出你的结论,不需证明。
5、在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE.连接DE、DF、EF. (1)求证:△ADF≌△CEF
(2)试证明△DFE是等腰直角三角形
图2
6、(1)如图①,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(2)当把△ADE绕A点旋转到图②的位置时,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明,若不成立请说明理由;
(3)当△ADE绕A点旋转到图③的位置时,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明;若不是,请说明理由.
图1 图2
7、如图,已知△ABC中,AB?AC?10厘米,BC?8厘米,点D为AB的中点. (1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使
△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
A D B Q P C 8.在△ABC中,AB?AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在
AD的右侧作△ADE,使AD?AE,?DAE??BAC,连接CE.
(1)如图1,当点D在线段BC上,如果?BAC?90°,则?BCE?_______度; (2)设?BAC??,?BCE??.
①如图2当点D在线段BC上移动,则?,?之间有怎样的数量关系?请说明理由; ②当点D在BC边的延长线上时有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
A A E B D 图1
E C 图2
C B D A A B C B C
备用图 备用图