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第五章 信号处理初步
5-1 求h(t)的自相关函数。
?ateh(t)?0?(t?0,a?0) (t?0)解：这是一种能量有限的确定性信号，所以
Rh(?)??h(t)h(t??)dt??e?ate?a(t??)dt???0??1?a?e 2a5-2 假定有一个信号x(t)，它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成，其数学表达式为 x(t)=A1cos(?1t+?1)+ A2cos(?2t+?2) 求该信号的自相关函数。
解：设x1(t)=A1cos(?1t+?1)；x2(t)= A2cos(?2t+?2)，则
Rx(?)?lim
1T[x1(t)?x2(t)][x1(t??)?x2(t??)]dtT??2T??T1T1T?limx(t)x(t??)dt?limx1(t)x2(t??)dt11 T??2T??TT??2T??T1T1T?limx2(t)x1(t??)dt?limx2(t)x2(t??)dtT??2T??TT??2T??T?Rx1(?)?Rx1x2(?)?Rx2x1(?)?Rx2(?)因为?1??2，所以Rx1x2(?)?0，Rx2x1(?)?0。 又因为x1(t)和x2(t)为周期信号，所以
Rx1(?)?
1T1A1cos(?1t??1)A1cos[?1(t??)??1]dt?0T1A12T11??cos??1t??1??1(t??)??1?cos??1t??1??1(t??)??1??dtT1?02 T1A12?T1??cos?2?1t??1??2?1?dt??cos(??1?)dt???00??2T1T1A12A12?0?tcos(?1?)?cos(?1?)2T120A22cos(?2?) 同理可求得Rx1(?)?2A12A22cos(?1?)?cos(?2?) 所以Rx(?)?Rx1(?)?Rx2(?)?225-3 求方波和正弦波（见图5-24）的互相关函数。
Word 资料
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x(t) 1 sin(?t) 0 -1 y(t) 1 T t 0 -1 图5-24 题5-3图
解法1：按方波分段积分直接计算。
t
1T1TRxy(?)??x(t)y(t??)dt??x(t??)y(t)dtT0T03TT?1?T44???(?1)sin(?t???)dt??T1gsin(?t???)dt??3T(?1)sin(?t???)dt? T?044?2?sin(??)?解法2：将方波y(t)展开成三角级数，其基波与x(t)同频相关，而三次以上谐波与x(t)不同频不相关，不必计算，所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。
y(t)??4?11?cos?t?cos3?t?cos5?t?LL? ??35??Rxy(?)?所以
1T1T?4?x(t)y(t??)dt?sin(?t)???cos(?t???)dt??00TT???T41???sin(?t??t???)?sin(?t??t???)?dt?T?02
T2?T??sin(2?t???)dt??sin(??)dt???0?0??T?22???0?Tsin(??)??sin(??)?T?解法3：直接按Rxy(?)定义式计算(参看下图)。
1TRxy(?)??x(t)y(t??)dtT03T????T?1?T44???(?1)sin(?t)dt??T1gsin(?t)dt??3T(?1)sin(?t???)dt?
????T?044?2?sin(??)?Word 资料
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x(t) 1 sin(?t) 0 -1 y(t) 1 T t 0 -1 y(t+?) 1 T4? 3T4T t 0 -1
T??43T??4T t 参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数
T?41??0????T2?4T Ry(?)????3???T2?