课时作业(二十二) 用向量方法求空间中的角 A组 基础巩固 1．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为( ) 55 B. 53253C. D. 55A.→→解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)，B(0,0,1)，BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)． →→→→BC1·AB135cos〈BC1，AB1〉＝＝＝. →→5×35|BC1||AB1|答案：A 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为( ) 1010A．－ B. 551515C．－ D. 55 解析：建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)． →→→∴BD＝(－2，－2,0)，BB1＝(0,0,2)，BE＝(－2,0,1)． 设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)． →→∵n⊥BD，n⊥BB1， ??－2x－2y＝0，??x＝－y，∴?∴? ?2z＝0.???z＝0.令y＝1，则n＝(－1,1,0)． →→n·BE10∴cos〈n，BE〉＝＝， 5→|n||BE|设直线BE与平面B1BD所成角为θ， →10则sinθ＝|cos〈n，BE〉|＝. 5答案：B 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为( ) 370A．0 B. 7037070C．－ D. 7070 解析：建立如图坐标系，则D1(0,0,3)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)， →→∴BD1＝(－2，－2,3)，AC＝(－2,2,0)． →→→→BD1·AC∴cos〈BD1，AC〉＝＝0. →→|BD1||AC|→→∴〈BD1，AC〉＝90°，其余弦值为0. 答案：A 4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：建系如图，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0)． 平面PAB的法向量为n1＝(1,0,0)．设平面PCD的法向量n2＝(x，y，z)， →?PD＝0，?n·则?→?CD＝0，?n·22 ??x－z＝0，得? ??y＝0. 令x＝1，则z＝1. ∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝12＝. 222.∴此角的大小为45°. 2∴平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为答案：B 5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( ) 610A. B. 4433C. D. 24解析：建立如图的空间直角坐标系， 可知∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°， 设B1C1＝1，CC1＝3＝DD1. ∴C1D1＝3，则有B1(3，0,0)，C(3，1，3)，C1(3，1,0)，D(0,1，3)． →→∴B1C＝(0,1，3)，C1D＝(－3，0，3)． →→→→B1C·C1D36∴cos〈B1C，C1D〉＝＝＝. →→264|B1C||C1D|答案：A 6．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D为AB的中点，沿中线将△ACD折起使得AB＝13，则二面角A－CD－B的大小为( ) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：取CD中点E，在平面BCD内过B点作BF⊥CD，交CD延长线于F. 据题意知AE⊥CD，AE＝BF＝3，EF＝2，AB＝13. →→且〈EA，FB〉为二面角的平面角， →→→→2由AB＝(AE＋EF＋FB)2得 →→13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈AE，FB〉， →→1∴cos〈EA，FB〉＝－. 2→→∴〈EA，FB〉＝120°. 即所求的二面角为120°.