|－a－a|6→∴|cos〈n，BC〉|＝＝3， 2
2a＋4·2∴a＝2.
→∴P(0,0,2)，PA＝(1,1，－2)，n＝(2，－2，－2)， 2－2＋42→∴cos〈PA，n〉＝＝3.
612
27→∴sin〈PA，n〉＝1－9＝3.
7
∴直线PA与平面EAC所成角的正弦值为3. 5．解析：(1)证明：在正三棱柱中，D、E分别为AB1与BB1
的中点，
∴C1D⊥A1B1， 又AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，AA1∩A1B1＝A1， ∴C1D⊥平面A1ABB1， ∴C1D⊥A1E，
11
又tan∠A1AD＝2，tan∠B1A1E＝2， ∴∠A1AD＝∠B1A1E， ∴A1E⊥AD， ∴A1E⊥平面AC1D.
(2)过A作AF⊥AC，则以AF为x轴，AC为y轴，
AA1为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0)，
取BC的中点为G，连接AG， ∴AG⊥平面BCC1B1，
?33?则G?，，0?，
2??2
∴平面BCC1B1的法向量 ?33??31?→AG＝?，，0?，D?，，2?，C1(0,2,2)，
2?2?2?2??3?3→C1D＝?，－，0?，E(3，1,1)，
2?2?
?3?3??33→→→令C1N＝λC1D，∴C1N＝λ?，－，0?＝?λ，－λ，0?，
2??22?2?
?3?3→→→∴NE＝C1E－C1N＝(3，－1，－1)－?λ，－λ，0?＝
2?2?
?33λ
3－2λ，－1＋2，－1?，
?
10
若NE与平面BCC1B1所成角的正弦值为20， →·→||NEAG10则＝20， →→|NE||AG|
??3?3?3λ?3???3－λ?＋?－1??
2?2?2?2?10??
∴＝20，
????3λ3
?3－λ?2＋?－1＋?2＋?－1?2·3
2?2???
32λ101
化简得＝20，解得λ＝3，
2
3λ－6λ＋5·3?1→2→?3→→→∵MN＝C1N＝3C1D，∴C1M＝3C1D＝?，－1，0?，
?3?
?23??53?1→→→→?，?，∴BM＝C1M－C1B＝?－NE＝? ，0，2，－，－132???6?
?
??
?
→，NE→〉＝∴cos〈BM?
?
111040，
2353－3×6－2?1110?
?＝＝?－404251??
＋4 ＋＋13124
?
??
1110
∴异面直线BM与NE所成角的余弦值为40. 6．解析：(1)∵BE∥DF，DF⊥平面ABCD， ∴BE⊥平面ABCD， BE?平面ABE， ∴平面ABE⊥平面ABCD. (2)取AB的中点M，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°， ∴∠DAB＝60°，∴△ADB为等边三角形， ∴DM⊥AB，AB∥DC，∴DM⊥DC，
∴以D为坐标原点，以DM，DC，DF分别为x轴，y轴，z轴，由题可得
A(3，－1,0)，E(3，1,3)，F(0,0,3)，B(3，1,0)，M(3，0,0)
∵DM⊥AB，DM⊥BE，∴DM⊥平面ABE， →是平面ABE的一个法向量，DM→＝(3，0,0)． ∴DM
设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， →＝(0,2,3)，EF→＝(－3，－1,0)， AE
?2y＋3z＝0，23
令x＝1，则y＝－3，z＝3， ?
?－3x－y＝0，
?
∴n＝?1，－?
23?3，3?，
?
3
3＝， 44
1＋3＋33→〉＝∴cos〈n，DM
13→∴sin〈n，DM〉＝4. 13
∴平面AEF与平面ABE所成锐二面角的正弦值为4. 大题专项训练(五) 圆锥曲线
1．解析：(1)由已知，动点M到点P(－1,0)，Q(1,0)的距离之和为22，22>|PQ|，
∴动点M的轨迹为椭圆，其中a＝2，c＝1， ∴b＝1，
x22
∴动点M的轨迹E的方程：2＋y＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(x1，－y1)，
由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线的方程为y＝k(x＋1)，
??y＝k?x＋1?，由?x22得 ??2＋y＝1，
(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 2k2－24k2∴x1＋x2＝－，x1x2＝， 22
1＋2k1＋2k
直线BC的方程为：y－y2＝∴y＝
y2＋y1x2－x1
x－
x1y2＋x2y1x2－x1
y2＋y1x2－x1
(x－x2)，
，令y＝0，
则x＝
x1y2＋x2y1y2＋y12x1x2＋?x1＋x2?
＝＝＝－2，
k?x1＋x2?＋2k?x1＋x2?＋2
2kx1x2＋k?x1＋x2?
∴直线BC与x轴交于定点D(－2,0)．
2．解析：(1)由已知得F(1,0)，l的方程为x＝1.
?2??2?
由已知可得，点A的坐标为?1，?或?1，－?.
2??2??
22
又M(2,0)，所以AM的方程为y＝－2x＋2或y＝2x－2. (2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1<2，x2<2，直线MA，MB的斜率之和为
y1y2
kMA＋kMB＝＋.
x1－2x2－2由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k得 2kx1x2－3k?x1＋x2?＋4k
kMA＋kMB＝.
?x1－2??x2－2?x22
将y＝k(x－1)代入2＋y＝1，得 (2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
22k－24k
所以x1＋x2＝2，x1x2＝2. 2k＋12k＋1
2