(2),
②﹣①×2得:3x=0,即x=0, 把x=0代入①得:y=,
则方程组的解为;
(3)去分母得:3x﹣3﹣2x﹣8>﹣12, 移项合并得:x>﹣1; (4)
,
由①得:x≥﹣1, 由②得:x<2,
∴不等式组的解集为﹣1≤x<2, 则不等式组的整数解为﹣1,0,1.
17.如图,四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC,求证:AC⊥BD.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】先通过等边对等角得到∠CBD=∠CDB,即BC=CD,证明△ABC≌△ADC,得点B和D关于AC对称,所以AC⊥BD. 【解答】证明:∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB. ∵∠ABC=∠ADC, ∴∠CBD=∠CDB. ∴BC=CD.
则AB=AD,∠ABC=∠ADC,BC=CD, ∴△ABC≌△ADC. ∴∠BAC=∠DAC. 又AB=AD, ∴AC⊥BD.
18.△ABC中,∠C=90°,AD为角平分线,BC=64,BD:DC=9:7,求D到AB的距离.
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【考点】角平分线的性质.
【分析】根据题意求出CD的长,根据角平分线的性质得到答案. 【解答】解:∵BD:DC=9:7,BC=64, ∴CD=
=28,
∵AD为角平分线,∠C=90°,DE⊥AB, ∴DE=DC=28.
答:D到AB的距离为28.
19.如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.
【考点】等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形. 【分析】(1)根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°,根据三角形内角和定理即可求解; (2)易证△EDC是等边三角形,再根据直角三角形的性质即可求解. 【解答】解:(1)∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=60°, ∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°, ∵EF⊥DE, ∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°;
(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°, ∴△EDC是等边三角形. ∴ED=DC=2,
∵∠DEF=90°,∠F=30°, ∴DF=2DE=4.
20.如图,已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.
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(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF的形状并证明;
(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.
【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】(1)利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,即可判断三角形的形状;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,利用SAS证明△AFD和△BDC全等,再利用全等三角形的性质得出FD=DC,∠FDC=90°,即可得出∠FCD=∠APD=45°. 【解答】解:(1)△CDF是等腰直角三角形,理由如下: ∵AF⊥AD,∠ABC=90°, ∴∠FAD=∠DBC, 在△FAD与△DBC中,
,
∴△FAD≌△DBC(SAS), ∴FD=DC,
∴△CDF是等腰三角形, ∵△FAD≌△DBC, ∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°, ∴∠BDC+∠FDA=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形;
(2)作AF⊥AB于A,使AF=BD,连结DF,CF,如图, ∵AF⊥AD,∠ABC=90°, ∴∠FAD=∠DBC, 在△FAD与△DBC中,
,
∴△FAD≌△DBC(SAS), ∴FD=DC,
∴△CDF是等腰三角形, ∵△FAD≌△DBC,
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∴∠FDA=∠DCB,
∵∠BDC+∠DCB=90°, ∴∠BDC+∠FDA=90°,
∴△CDF是等腰直角三角形, ∴∠FCD=45°,
∵AF∥CE,且AF=CE,
∴四边形AFCE是平行四边形, ∴AE∥CF,
∴∠APD=∠FCD=45°.
填空题(保留必要过程)(每小题3分,共计9分) 21.如图,在△ABC的边AB和AC的垂直平分线分别交BC于P、Q,若∠BAC=100°,则∠PAQ= 20 ;若∠BAC+∠PAQ=150°,则∠PAQ= 40° .
【考点】线段垂直平分线的性质.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AP=BP,AQ=CQ,再根据三角形内角和定理求出∠B+∠C,再根据等边对等角的性质可得∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C,然后代入数据进行计算即可得解.根据∠BAC+∠PAQ=150°,可得∠1+∠2+2∠
PAQ=150°①,再由三角形内角和为180°可得∠B+∠C+∠1+∠2+∠PAQ=180°②,然后②﹣①得③,再①﹣③可得答案.
【解答】解:∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线, ∴AP=BP,AQ=CQ, ∴∠1=∠B,∠2=∠C, ∵∠BAC=100°,
∴∠B+∠C=180°﹣100°=80°, ∴∠1+∠2=80°,
∴∠PAQ=100°﹣80°=20°; ∵∠BAC+∠PAQ=150°,
∴∠1+∠2+2∠PAQ=150°,①
∵∠B+∠C+∠1+∠2+∠PAQ=180°,② ∴②﹣①得:
∠B+∠C﹣∠PAQ=30°,③ ∵∠1=∠B,∠2=∠C,
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∴①﹣③得:∠PAQ=40°, 故答案为:40°.
22.如图,四边形ABCD为正方形,AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F,则∠AFD= 60 度.
【考点】正方形的性质;三角形内角和定理;等边三角形的性质.
【分析】根据正方形及等边三角形的性质求得∠AFE,∠BFE的度数,再根据外角的性质即可求得答案.
【解答】解:∵∠CBA=90°,∠ABE=60°, ∴∠CBE=150°,
∵四边形ABCD为正方形,三角形ABE为等边三角形 ∴BC=BE,
∴∠BEC=15°,
∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°, ∴∠BFE=60°,
在△CBF和△ABF中,
,
∴△CBF≌△ABF(SAS), ∴∠BAF=∠BCE=15°,
又∠ABF=45°,且∠AFD为△AFB的外角, ∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60°. 故答案为60.
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