《 线性代数 》复习题
一选择
1．设Am?n为实矩阵,则线性方程组Ax?0只有零解是矩阵(ATA)为正定矩阵的
(A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件； (D) 无关条件。 2．已知?1,?2,?1,?2,?3为四维列向量组，且行列式 A??1,?2,?3,?1??4，
B??1,?2,?3,?2??1，则行列式 A?B? (A) 40 (B) ?16 (C) ?3； (D) ?40。
3．设向量组?1，?2，?，?s(s?2)线性无关，且可由向量组?1，?2，?，?s线性表示，则以下结论中不能成立的是 (A) 向量组?1，?2，?，?s线性无关；
(B) 对任一个?j，向量组?j，?2，?，?s线性相关； (C) 存在一个?j，向量组?j，?2，?，?s线性无关； (D) 向量组?1，?2，?，?s与向量组?1，?2，?，?s等价。
4．对于n元齐次线性方程组Ax?0，以下命题中，正确的是
(A) 若A的列向量组线性无关，则Ax?0有非零解； (B) 若A的行向量组线性无关，则Ax?0有非零解； (C) 若A的列向量组线性相关，则Ax?0有非零解； (D) 若A的行向量组线性相关，则Ax?0有非零解。
5．设A为n阶非奇异矩阵(n?2)，A?为A的伴随矩阵，则 (A) (A?1)??|A|?1A； (B) (A?1)??|A|A； (C) (A?1)??|A|?1A?1； (D) (A?1)??|A|A?1。 6．n阶方阵A与对角阵相似的充要条件是 ( ).
(A) A是实对称阵; (B) A有n个互异特征值; (C) A有n个线性无关的特征向量; (D) A的特征向量两两正交. 7．n阶方阵A满足A2?0，E是n阶单位阵，则 ( ).
1
(A) E?A?0，但E?A?0; (B) E?A?0，但E?A?0;
(C) E?A?0，且E?A?0; (D) E?A?0，且E?A?0
8．如果?0是n阶矩阵A的特征值, 那么必有（ ）.
(A) A??0E?0; (B) A??0E?0; (C) A??0E?0; (D) A??0E?0 9．对于n元齐次线性方程组Ax?0，以下命题中，正确的是
(A) 若A的列向量组线性无关，则Ax?0有非零解； (B) 若A的行向量组线性无关，则Ax?0有非零解； (C) 若A的列向量组线性相关，则Ax?0有非零解； (D) 若A的行向量组线性相关，则Ax?0有非零解。
10．设A为n阶非奇异矩阵(n?2)，A?为A的伴随矩阵，则 (A) (A?1)??|A|?1A； (B) (A?1)??|A|A； (C) (A?1)??|A|?1A?1； (D) (A?1)??|A|A?1。
二计算
?1??2?12?????3? 的对应特征值?的一个特征向11、列向量???1? 是矩阵A??5a??1b?2???1?????量. 则?＝ ，a＝ ，b＝ 。
12．设n阶向量??(x，0，?，0，x)T，x?0；矩阵 A?E???T,且
1A?1?E???T，则x?___ ______。
x 2
2213．已知实二次型f(x1,x2,x3)?x12?4x2?2x3?2ax1x2?2x2x3正定,则常数a的
取值范围为________________。
14．设矩阵A?(aij)3?3，Aij是|A|中元素aij的代数余子式，aij?Aij，
a11?2a12?3a13，已知a11?0，则a11? 。 15．解矩阵方程：
??120???10 ?211??????X??05? ??1?11????1?3??16．当a为何值时，方程组有解？如有解，请求出它的解。
??x1?x2?x3?x4?2 ?x?3x?12?2x3?x4?a ?2x2?x3?2x4?3?(1??)x1?x2?x3?017．设有线性方程组??x1?(1??)x2?x3?3，
??x1?x2?(1??)x3??问?取何值时，此方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多解.
一、选择题 1.C 2. D 3. B 4. C 5. A 6.C 7. D 8. D 9. C 10.二、计算
11：-1, -3, 0 12： ?1 13： |a|?7/2
????4??14．：607 15、?1???2? ?2?1?1???2??16、当a=5时方程组有解。
基础解系：?1=（1，1，-2，0），?2=（-3，0，2，1） ??=k1?1+k2?2,（k1,k2是常数） 特解：?=（-1,0,3,0） 原方
程组的通解是：X=?+?。
3
A
?11??1 ???11??1 ?????0??? 3??? A,b)??0??? 3??17、(??????0???(??3)??(??1)????00?(??3)(??3)(??1)??（1）??0,???3唯一解。（2）??0无解。（3）???3无穷解。
4