第6讲 共点力平衡问题
共点力平衡问题是力学受力分析要核心解决的问题，是基础性问题，近几年全国卷着重的对此点进
行考查．考查的热点主要有：(1)整体法与隔离法在受力分析中的应用；(2)解析法或图解法解决动态平衡问题；(3)共点力平衡下的临界与极值问题等．题型以选择题为主，难度中等．
【重难解读】
共点力平衡问题主要从以下几个方面进行命题考查：
1．共点力作用下物体的静态平衡问题：力的合成法或分解法结合整体隔离的研究思路进行求解． 2．共点力作用下的动态平衡问题：解析法、图解法和相似三角形法均可在不同情况下求解问题． 3．共点力平衡下的临界和极值问题等．
【典题例证】
(12分)如图所示，
质量为m1的物体甲通过3段轻绳悬挂，3段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态．(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)求：
(1)轻绳OA、OB受到的拉力是多大？ (2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，则欲使人在水平面上不滑动，物体甲的质量m1最大不能超过多少？
[解析] (1)以结点O为研究对象，如图1，沿水平方向和竖直方向建立直角坐标系，将FOA分解，由平衡条件有
2
FOB＝FOAsin θ FOAcos θ＝m1g m1g5联立得FOA＝＝m1g cos θ4
(1分) (1分) (1分)
1
FOB＝m1gtan θ＝m1g 34
(1分)
53
故轻绳OA、OB受到的拉力分别为m1g、m1g.
44
3
(2)人在水平方向受到OB绳的拉力和水平面的静摩擦力，受力如图2所示，由平衡条件得：Ff＝FOB＝m1g，
方向水平向左．
(4分)
(3)当甲的质量增大到人刚要滑动时，质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值． 当人刚要滑动时，静摩擦力达到最大值
Ffm＝μm2g (1分) 由平衡条件得FOBm＝Ffm (1分) 又F3
OBm＝4
m1mg (1分)
联立得m4FOBm4μm2g1m＝3g＝3g＝24 kg
(1分)
即物体甲的质量m1最大不能超过24 kg. [答案] (1)54m33
1g 4m1g (2)4m1g 水平向左
(3)24 kg
解决共点力作用下物体平衡问题的一般思路
42
1．(多选)
(2018·湖北八校联考)如图所示，A、B两球质量均为m，固定在轻弹簧的两端，分别用细绳悬于O点，其中球A处在光滑竖直墙面和光滑水平墙面的交界处，已知两球均处于平衡状态，OAB恰好构成一个正三角形，则下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．球A可能受到四个力的作用 B．弹簧对球A的弹力大于对球B的弹力 C．绳OB对球B的拉力大小一定等于mg D．绳OA对球A的拉力大小等于或小于1.5mg
解析：选ACD.对球B受力分析，据共点力平衡可知弹簧和绳对球B的作用力大小均为mg，选项C正确．对同一弹簧而言，产生的弹力处处相等，故弹簧对球A的弹力等于对球B的弹力，选项B错误．对球A分析可知，一定受重力、弹簧的弹力、墙面的支持力作用，可能受地面的支持力和绳的拉力，地面的支持力和绳的拉力也可能有一个为0，当地面对球A的支持力为0时，绳上的拉力最大，等于重力和弹簧竖直方向的分力之和，即1.5mg，故选项A、D正确．
2.
(2018·长沙模拟)如图所示，质量不等的盒子A和物体B用细绳相连，跨过光滑的定滑轮，A置于倾角为
θ的斜面上，与斜面间的动摩擦因数μ＝tan θ，B悬于斜面之外而处于静止状态．现向A中缓慢加入砂子，
下列说法正确的是( )
A．绳子拉力逐渐减小 B．A对斜面的压力逐渐增大 C．A所受的摩擦力一定逐渐增大 D．A可能沿斜面下滑
解析：选B.当mAgsin θ＞mBg时，对A受力分析，由平衡条件有：mAgsin θ＝Ff＋mBg，随mA的增大，摩擦力不断增大；当mAgsin θ＜mBg时，由平衡条件有：mAgsin θ＋Ff＝mBg，随mA的增大，摩擦力不断减小，C项错；在垂直斜面方向上，始终有：FN＝mAgcos θ，因此随着不断加入砂子，A对斜面的压力不断增大，B项正确；由μ＝tan θ，可知最大静摩擦力Ffmax＝μmAgcos θ＝mAgsin θ，故增加的重力的分力与增加的摩擦力大小相等，方向相反，故A不会滑动，保持静止，D项错；此时绳子所受拉力等于B的重力，故拉力保持不变，A项错．
3.
3
1
(多选)光滑水平地面上放有截面为圆周的柱状物体A，A与墙面之间放一光滑的圆柱形物体B.对A施加
4一水平向左的力F，整个装置保持静止．若将A的位置向右移动少许，整个装置仍保持平衡，则( )
A．水平外力F增大 B．墙对B的作用力减小 C．地面对A的支持力减小 D．B对A的作用力增大 解析：
选AD.A、B之间的弹力方向沿A、B圆心连线方向．以B为研究对象，如图所示，B受重力GB、墙壁对B的弹力F1、A对B的弹力F2，根据共点力平衡条件有，F2cos α＝GB，F2sin α＝F1，解得F1＝GBtan α，F2＝
.
cos αGB若将A向右移动少许，α变大，可见F1、F2都变大，B错误，D正确．以A和B整体为研究对象，有F＝F1＝
GBtan α，则F随α的增大而变大．地面对A的支持力始终等于A、B的总重力，是不变的，A正确，C错误．
4.
如图所示，3根轻绳悬挂着两个质量相同的小球并保持静止，绳AD与AC垂直．现对B球施加一个水平向右的力F，使B缓慢移动到图中虚线位置，此过程中AD、AC两绳张力TAC、TAD的变化情况是( )
A．TAC变大，TAD减小 C．TAC减小，TAD变大
B．TAC变大，TAD不变 D．TAC不变，TAD变大
解析：选C.以B为研究对象，受力分析如图甲所示．将B缓缓拉到图中虚线位置的过程，绳子与竖直方向夹角θ变大，由B球受力平衡得TABcos θ＝mg，TABsin θ＝F，所以绳子AB的张力TAB逐渐变大，F逐渐变大．再以A、B整体为研究对象受力分析，如图乙所示，设AD绳与水平方向夹角为α，AC绳与水平方向夹角为β(α＋β＝90°)，并以AC、AD为坐标轴正方向，可得TAD＝2mgsin α＋Fsin β，TAC＝2mg·cos α－Fcos
β，α、β不变，而F逐渐变大，故TAD逐渐变大，TAC逐渐减小，C正确．
4
5.
如图所示，表面光滑、半径为R的半球体固定在水平地面上，球心O的正上方O′处有一个光滑定滑轮，轻质细绳两端各系一个小球挂在定滑轮上(不计小球大小)，两小球平衡时，滑轮两侧细绳的长度分别为L1＝2.5R，L2＝2.4R，则这两个小球的质量之比m1∶m2为( )
A．24∶1 C．24∶25 解析：选C.
B．25∶1 D．25∶24
先以右侧小球为研究对象，分析受力情况．小球受重力m2g、绳子的拉力T和半球体的支持力N，如图所示．由平衡条件得知，拉力T和支持力N的合力与重力m2g大小相等、方向相反．设OO′＝h，根据三角形相似得＝Tm2gThTh，得m2g＝，同理，以左侧小球为研究对象，得m1g＝，联立解得m1∶m2＝L2∶L1＝24∶25.
L2hL2L1
5