四元数转化成欧拉角
笔者：奋斗 修改时间：2015.11.23
一． 姿态解算（以匿名版程序为例）
首先，程序中一般用了两种求解姿态的方法，一种为欧拉角法，一种为四元数法。由四元数法将MPU6050的值融合成四元，再由欧拉角法把四元转换成欧拉角送入串级PID控制器。
（1）欧拉角法静止状态，或者总加速度只是稍微大于g时，由加计算出的值比较准确。使用欧拉角表示姿态，令Φ,θ和Φ代表ZYX 欧拉角，分别称为偏航角、俯仰角和横滚角。载体坐标系下的 加 速 度(axB,ayB,azB)和参考坐标系下的加速度(axN, ayN, azN)之间的关系可表示为(1)。其中 c 和 s 分别代表 cos 和 sin。axB,ayB,azB就是mpu读出来的三个值。
这个矩阵就是三个旋转矩阵相乘得到的，因为矩阵的乘法可以表示旋转。
c?c??axB???ayB????c?s??s?s?c? ?????azB????s?s??c?s?c??axN??0??????ayN???0?（2） ?a????zN??g?c?s?c?c??s?s?s??s?c??c?s?s??s???axN??ayN? (1) s?c?????c?c?????azN??飞行器处于静止状态，此时参考系下的加速度等于重力加速度，即
把（2）代入（1）可以解得
??arctg(axBa?a2yB2zB)（3）
??arctg??ayB??（4） a?zB?即为初始俯仰角和横滚角，通过加速度计得到载体坐标系下的加速度即可将
其解出，偏航角可以通过电子罗盘求出。
（2）四元数法（通过处理单位采样时间内的角增量(mpu的陀螺仪得到的就是角增量)，为了避免噪声的微分放大，应该直接用角增量）
void IMUupdate(float gx, float gy, float gz, float ax, float ay, float az) {
float norm;
// float hx, hy, hz, bx, bz;
float vx, vy, vz; // wx, wy, wz; float ex, ey, ez;
// 先把这些用得到的值算好 float q0q0 = q0*q0; float q0q1 = q0*q1; float q0q2 = q0*q2; // float q0q3 = q0*q3; float q1q1 = q1*q1; // float q1q2 = q1*q2; float q1q3 = q1*q3; float q2q2 = q2*q2; float q2q3 = q2*q3; float q3q3 = q3*q3;
if(ax*ay*az==0) return;
norm = sqrt(ax*ax + ay*ay + az*az); //acc数据归一化 ax = ax /norm; ay = ay / norm; az = az / norm;
// estimated direction of gravity and flux (v and w) vx = 2*(q1q3 - q0q2); //四元素中xyz vy = 2*(q0q1 + q2q3);
vz = q0q0 - q1q1 - q2q2 + q3q3 ;
// error is sum of cross product between reference direction of fields and direction measured by sensors
ex = (ay*vz - az*vy) ; //向量外积在相减得到差分就是误差 ey = (az*vx - ax*vz) ; ez = (ax*vy - ay*vx) ;
exInt = exInt + ex * Ki; //对误差进行积分 eyInt = eyInt + ey * Ki; ezInt = ezInt + ez * Ki;
// adjusted gyroscope measurements
gx = gx + Kp*ex + exInt; //将误差PI后补偿到陀螺仪，即补偿零点漂移 gy = gy + Kp*ey + eyInt;
gz = gz + Kp*ez + ezInt; //这里的gz由于没有观测者进行矫正会产生漂移，表现出来的就是积分自增或自减
// integrate quaternion rate and normalise //四元素的微分方程 q0 = q0 + (-q1*gx - q2*gy - q3*gz)*halfT; q1 = q1 + (q0*gx + q2*gz - q3*gy)*halfT; q2 = q2 + (q0*gy - q1*gz + q3*gx)*halfT; q3 = q3 + (q0*gz + q1*gy - q2*gx)*halfT;
// normalise quaternion
norm = sqrt(q0*q0 + q1*q1 + q2*q2 + q3*q3); q0 = q0 / norm; q1 = q1 / norm; q2 = q2 / norm; q3 = q3 / norm;
//Q_ANGLE.Yaw = atan2(2 * q1 * q2 + 2 * q0 * q3, -2 * q2*q2 - 2 * q3* q3 + 1)* 57.3; // yaw
Q_ANGLE.Y = asin(-2 * q1 * q3 + 2 * q0* q2)* 57.3; // pitch
Q_ANGLE.X = atan2(2 * q2 * q3 + 2 * q0 * q1, -2 * q1 * q1 - 2 * q2* q2 + 1)* 57.3; // roll }
下面对上面的程序逐条解释。姿态矩阵可以由以下两种方式表示。第一个就是上图所说的欧拉角法（式（1）），还有一个就是四元数法
2(q1q1?q0q3)2(q1q3?q0q2)?q0^2?q1^2?q2^2?q3^2?? CbR??2(q1q2?q0q3)1?2(q1^2?q3^2)2(q2q3?q0q1)???2(q1q3?q0q2)2(q2q3?q0q1)q0^2?q1^2?q2^2?q3^2???
注意：这里是CbR,假设b为四旋翼固连坐标系，R为参考坐标系，那么CbR表示b系到R系的坐标变换矩阵，由于(1)式表示的为R系到b系的坐标矩阵，要用上式表示，则要对四元数法矩阵求逆，又因为该矩阵为正交阵，逆等于转置，则描述R系到b系的四元数矩阵为
2(q1q1?q0q3)2(q1q3?q0q2)?q0^2?q1^2?q2^2?q3^2??CRb??2(q1q2?q0q3)1?2(q1^2?q3^2)2(q2q3?q0q1)???2(q1q3?q0q2)2(q2q3?q0q1)q0^2?q1^2?q2^2?q3^2???此时矩阵跟1式矩阵一一对应。