第一讲规划模型
本讲介绍的规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型。这类规划问题，模型规范，建模直接，激发想象；模型求解方法典型，实用面宽广。掌握这类规划问题的数学建模、是建模者必须具备的基本建模素养。
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来越多的人所重视。随着计算机的逐渐普及，它越来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行为、核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、创造的价值无法估量。
在数模竞赛过程中，规划模型是最常见的一类数学模型。从历年全国大学生数模竞赛试题的解题方法统计结果来看，规划模型共出现了近20次，占到了近50%，也就是说每两道竞赛题中就有一道涉及到利用规划理论来分析、求解。
下面首先讨论静态系统的优化问题，介绍线性规划、整数规划、目标规划和非线性规划；然后讨论动态系统的多阶段优化问题。
线性规划问题及其数学模型
线性规划模型
线性规划是运筹学的重要分支之一。一般认为，运筹学的主要分支有规划论(包括线性规划、非线性规划、动态规划等)、排队论、对策论(亦称博奕论)与决策分析、图论、存贮论、模型论等分支．线性规划只是运筹学中研究较早，理论比较完整、应用最广的一个分支。 1．线性规划问题
在生产管理和经营活动中，经常提出一类问题，即如何合理地利用有限的人力、物力等资源、以便得到最好的经济效益。先来看两个实例。 问题1拟定生产计划问题
问题提出某工厂生产甲、乙两种产品．这两种产品都需要在A，B，C三种不同设备上加工，每吨甲、乙产品在不同设备上加工所需的台时，它们销售后所能获得的利润值以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时数均列于下表中．如何安排生产计划，即甲、乙两种产品各生产多少吨，可使该厂所获利润最大?
设备 每吨产品的加工台时 甲 乙 有限台时数 A B C 利润（千元/吨） 3 5 9 32 4 4 8 30 36 40 76 求最大利润 模型建立设计划期内甲、乙两种产品的产量分别为x1吨、x2吨(x1，x2称为决策变量)，该厂的目标是在不超过二种设备总有限台时数的条件下，确定产量x1及x2，以获得最大利润，用Z表示利润．则有目标函数： Max Z = 32*x1 + 30*x2
由于设备A，B，C在计划期内的有效台时数分别为36．40，76，可以得出限制产量的条件，即约束条件；
3*x1+4*x2<=36 (设备A对产量的限制) 5*x1+4*x2<=40 (设备B对产量的限制)， 9*x1+8*x2<=76 (设备C对产量的限制)， x1，x2≥0 (产量不能为负值)．
问题2 运输问题
问题提出 两个煤厂A1和A2每月进煤数量分别为60t和100t，联合供应三个居民区(Bl，B2，B3)。三个居民区每月对煤的需求量依次为50t、70t、40t，煤厂Al离居民区BI，B2，B3的距离分别为10 km、5km、6km，煤厂A2离居区民区BI，B2，B3的距离分别为4km，8km,12km．问如何分配供煤量使得运输量(t·km)达到最小?
模型准备：将上述条件用表格形式表示有 A1 A2 需求
模型建立 分配供煤量优劣的指标为运输量，设为Z，用xij表示Ai(I=1,2)
B1 10 4 50 B2 5 8 70 B3 6 12 40 供给 60 100 煤厂提供给Bj(j＝1，2，3)居民区的煤量，则该问题的数学模型为 目标函数； minZ＝lOx11＋5x12＋6x13＋4x21＋8x22＋12x23
(A1的供煤量)?x11?x12?x13?60??x21?x22?x23?100(A2的供煤量)?(B1的需求煤量)?x11?x21?50 约束条件：?
x?x?70(B的需求煤量)222?12?x13?x23?40(B3的需求煤量)?)??xij?0,(i?1,2;j?1,2,3)(运煤量不能为负
2．线性规划问题的特点和数学模型
从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题．它们的共同持点是： (1)每一个问题都用一组决策变量(x1，x2，……，xn)表示某一方案：这组决策变量的值就代表一个具体的方案．一般这些变量的取值是非负的。
(2)存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示．
(3)都有一个要求达到的目标，它可以用决策变量的线性函数来表示，这个函数称为目标函数．按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
满足以上三个条件的数学模型称为线性规划问题的数学模型，其一般形式为 目标函数：max(min)Z?c1x1?c2x2????cnxn
?a11x1?a12x2????a1nxn?(?,?)b1?ax?ax????ax?(?,?)b2112222nn2??约束条件（或s.t.）：?????????????????
?ax?ax????ax?(?,?)bm22mnnm?m11??xi?0,i?1,2,?n约束条件常用英文缩写s.t.表示，而约束条件的最后一式又称为变量的非负性。
线性规划主要应用目标函数求最值的情况，在以下各方面有广泛的应用： (1)在某一企业内部，如何配合产品的销售时间，使各部门的原料、产品的存储，分配的数量等最为合理；
(2)在某企业生产的产品数量(或产值)固定时，如何在现有设备、人力、原料