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课时跟踪检测（六十七） 古典概型与几何概型
一、题点全面练
1.(2019·衡水联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币,直径22 mm,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积,现用1粒芝麻向硬币内投掷100次,其中恰有30次落在军旗内,据此可估计军旗的面积大约是( )
363πA. mm2 10726πC. mm2
5
363πB. mm2
5363πD. mm2 20
解析：选A 向硬币内投掷100次,恰有30次落在军旗内,所以可估计军旗的面积大约30363π
是S＝×π×112＝(mm2).
10010
2.(2019·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”,决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好,但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”,从上述回答分析,丙是第一名的概率是( )
1A. 51C. 4
1B. 31D. 6
解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名,所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响,所以这三个人获得第一名是等可能事件,所以丙是第1
一名的概率是. 3
3.(2019·郑州模拟)现有5人参加抽奖活动,每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张,直到3张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第4人抽完结束的概率为( )
1A. 103C. 10
1B. 52D. 5
解析：选C 将5张奖票不放回地依次取出共有A55＝120(种)不同的取法,若活动恰好在
213
第四次抽奖结束,则前三次共抽到2张中奖票,第四次抽到最后一张中奖票,共有C3C2A3＝
36336(种)取法,所以P＝＝. 12010
4.(2019·长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色
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大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为( )
πA. 8πC.1－
8
πB. 16D.1－
π 16
解析：选C 正方形的面积为82,正方形的内切圆半径为4,中间黑色大圆的半径为2,黑色小圆的半径为1,所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π,所以黑色区域的面积为82－82－8ππ8π.在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为P＝2＝1－. 885.(2019·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＝1,直线l：y＝k(x＋2),在[－1,1]上随机选取一个数k,则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
1
A. 23－3C.
3
2－2B.
22－3D. 2
解析：选C 圆C：x2＋y2＝1的圆心C(0,0),半径r＝1,圆心到直线l：y＝k(x＋2)的距离|0×k－0＋2k|2|k|2|k|33d＝＝,直线l与圆C相离时d＞r,即＞1,解得k＜－或k＞,
33k2＋?－1?2k2＋1k2＋13??2×1－
3?3－3?
故所求的概率P＝＝. 31－?－1?
6.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数,则这7个数的平均数是5的概率为________.
解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C79＝36种,从(1,9),(2,8),(3,7),(4,6)中任选3组,有C34＝4种选法,故这7个数的平均数是5的概率P＝
1
答案：
9
7.一个三位数的百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134),若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“好数”的概率是________.
3
解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列,共组成A4＝24个三位数,而“好
41
＝. 369
12
数”的三个位置上的数字为1,2,3或1,3,4,所以共组成2A33＝12个“好数”,故所求概率P＝241＝. 2
1
答案：
2
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8.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.π
按照太极图的构图方法,在如图所示的平面直角坐标系中,圆O被函数y＝3sinx的图象分割
6为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为________.
π2π
解析：根据题意,大圆的直径为函数y＝3sinx的最小正周期T,又T＝＝12,所以大圆
6π
612?22
的面积S＝π·?＝36π,一个小圆的面积S′＝π·1＝π,故在大圆内随机取一点,此点取自阴?2?2S′2π1影部分的概率P＝S＝＝.
36π18
答案：
1 18
9.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解：(1)因为甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,所以应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽取的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由①,不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以事件M发生的概率P(M?＝
5. 21
10.在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.
(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.