配套K12学习（小初高）
第2课时 平行四边形的对角线的性质
1．掌握平行四边形对角线互相平分的性质；(重点) 2．利用平行四边形对角线的性质解决有关问题．(难点)
一、情境导入
如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，你能算出图中阴影部分的面积吗？
二、合作探究
探究点一：平行四边形的对角线的性质
【类型一】 利用平行四边形对角线的性质求线段长
已知：?ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
解析：平行四边形的周长为60cm，即相邻两边之和为30cm，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，而AO为共用，OB＝OD，所以由题可知AB比AD长5cm，进一步解答即可．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，∵△AOB的周长比△DOA35的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm，又∵?ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm，则AB＝CD＝
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cm，AD＝BC＝cm.
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方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】 利用平行四边形对角线的性质证明线段或角相等
如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、
F，求证：OE＝OF.
解析：根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可得出结论． 配套K12学习（小初高）
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证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO∠FDO＝∠EBO，??
和△BEO中，?OD＝OB，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
??∠FOD＝∠EOB，
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相
等，对角线互相平分的性质．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型三】 判断直线的位置关系 如图平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试
判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，再证△BOE≌△DOF，从而得出BE＝DF，∠OEB＝∠OFD，∴BE∥DF.
解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，在
OE＝OF，??
△OFD和△OEB中，∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF. ?OD＝OB，
??∠DOF＝∠BOE，
方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果条件中有对角线时，可利用三角形全等解
决．
探究点二：平行四边形的面积
在?ABCD中：
(1)如图①，O为对角线BD、AC的交点，求证：S△ABO＝S△CBO；
(2)如图②，设P为对角线BD上任一点(点P与点B、D不重合)，S△ABP与S△CBP仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
解析：(1)根据平行四边形的对角线互相平分可得AO＝CO，再根据等底同高的三角形的面积相等解答；
(2)根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底同高的三角形的面积相等解答．
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(1)证明：在?ABCD中，AO＝CO，设点B到AC的距离为h，则S△ABO＝AO·h，S△CBO＝CO·h，
22∴S△ABO＝S△CBO；
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(2)解：S△ABP＝S△CBP.在?ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h，则S△ABP＝BP·h，
2
S△CBP＝BP·h，∴S△ABP＝S△CBP.
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方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题 三、板书设计
1．平行四边形对角线互相平分 2．平行四边形的面积
通过分组讨论学习和学生自己动手操作和归纳，加强学生在教学过程中的实践活动，也使学生之间的合作意识更强，与同学交流学习心得的气氛更浓厚，从而加深了同学之间的友谊和师生之间的教学和谐，使得教学过程更加流畅，促进教学相长
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