设物体的动能减少ΔEk时，在斜坡上运动的距离为s，由功能关系可知 ΔEk＝(mgsin α＋f)s ΔE＝fs 联立①②③式，并代入数据可得
② ③
a＝6 m/s2.
④
(2)设物体沿斜坡向上运动的最大距离为sm，由运动学规律可得
v20
sm＝
2a⑤
设物体返回斜坡底端时的动能为Ek，由动能定理得
Ek＝(mgsin α－f)sm
联立①④⑤⑥各式，并代入数据可得
⑥
Ek＝80 J.
【答案】 (1)6 m/s (2)80 J
2
1．(2016·全国甲卷)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图4-5所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点，( )
图4-5
A．P球的速度一定大于Q球的速度 B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力 D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
【解析】 两球由静止释放到运动到轨迹最低点的过程中只有重力做功，机械能守恒，12
取轨迹的最低点为零势能点，则由机械能守恒定律得mgL＝mv，v＝2gL，因LP 2 v2 又mP>mQ，则两球的动能无法比较，选项A、B错误；在最低点绳的拉力为F，则F－mg＝m， L则F＝3mg，因mP>mQ，则FP>FQ，选项C正确；向心加速度a＝【答案】 C 2．(多选)(2016·全国丙卷)如图4-6所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面； F－mg＝2g，选项D错误． m在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( ) 图4-6 2A．a＝ mgR－W mRR2mgR－WB．a＝ mR3mgR－2WC．N＝ 2mgR－WD．N＝ R12 【解析】 质点P下滑到最低点的过程中，由动能定理得mgR－W＝mv，则速度v＝ 22 mgR－Wv22mgR－W，最低点的向心加速度a＝＝，选项A正确，选项B错误；mRmRR3mgR－2W在最低点时，由牛顿第二定律得N－mg＝ma，N＝，选项C正确，选项D错误． 【答案】 AC 3．(2015·全国卷Ⅰ)如图4-7所示，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平．一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道，质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小．用 W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功．则( ) 图4-7 1 A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点 21 B．W>mgR，质点不能到达Q点 2 1 C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离 21 D．W 2 【解析】 设质点到达N点的速度为vN，在N点质点受到轨道的弹力为FN，则FN－mg2mvN123′ ＝，已知FN＝FN＝4mg，则质点到达N点的动能为EkN＝mvN＝mgR.质点由开始至N点的R22 1 过程，由动能定理得mg·2R＋Wf＝EkN－0，解得摩擦力做的功为Wf＝－mgR，即克服摩擦力 21 做的功为W＝－Wf＝mgR. 2 设从N到Q的过程中克服摩擦力做功为W′，则W′＜W.从N到Q的过程，由动能定理1212112 得－mgR－W′＝mvQ－mvN，即mgR－W′＝mvQ，故质点到达Q点后速度不为0，质点继续 2222上升一段距离．选项C正确． 【答案】 C 4．(多选)(2016·全国卷甲)如图4-8，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知π 在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M点运动到N2点的过程中，( ) 图4-8 A．弹力对小球先做正功后做负功 B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度 C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零 D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差 π 【解析】 在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<，则小球 2在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中，弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功，然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，选项A错误．在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，选项B正确． 弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，选项C正确．由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点的动能等于从M点到N点重力势能的减小值，选项D正确． 【答案】 BCD 11 5．(2016·全国卷丙)如图4-9所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光 42滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点 2正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动. 4 【导学号：35390081】 RR 图4-9 (1)求小球在B、A两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点． 【解析】 (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg 4 R① 5R设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg ② 4由①②式得 EkB＝5. EkA③ (2)若小球能沿轨道运动到C点，则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0 ④ v2C设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有N＋mg＝m ⑤ R2 由④⑤式得，vC应满足mg≤m2vC2 R ⑥ ⑦ R12 由机械能守恒定律得mg＝mvC 42 由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点． 【答案】 (1)5 (2)能沿轨道运动到C点 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)