解 设 则
由于 故 2.设
证 因为 故 于是
3.设在点 不为零。
证 因为 则
,则
但是
在原点不存在极限。
在点的某一去心邻域内是有界的。
,从而
内
是有内界的。
,所以,在点
连续,且,则在点的某一邻域内恒
在点 连续，
，
特别地，取 ，则由上面的不等式得
因此
在点
的邻域
内就恒不为零。
，
第四节 复球面与无穷远点
一.复球面
借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法,建立复平面与球面上的点的对应，以此来合理地引入无穷远点。 1.取一个在原点
与复平相切的球面。
11
2.过作一垂直于复平面的直线交球面于 ,称
为北极。
为南
极。
3.用直线段将与复球面上的一点相连,此线段交球面于点
,
这样就建立球面上(不包括北极
)的点与复平面上的一一对应。
4.北极 可以看成与复平面上的一个模为无穷大的假想点相对应， 这个假想点称为无穷远点，并记为 。 5.复平面加上点后称为扩充复平面，与它对应的就是整个球面,称为 复球面。 6.数 的运算规定：
无意义；
当 时, 当 (但可取
时),
的实部、虚部及辐角都无意义，
复平面上的每一条直线都经过点,同时,没有一个半平面包含
点 。
12