有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线px y 22=(p>0的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ,(11y x 、B ,(22y x 两点
结论1:p x x AB ++=21 p x x p
x p x BF AF AB ++=+++ =+=21212
(2( 结论2:若直线L 的倾斜角为θ,则弦长θ2sin 2p AB = 证: (1若2 π
θ= 时,直线L 的斜率不存在,此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2
(2若2 π θ≠
时,设直线L 的方程为:θtan 2(p x y - =即2 cot p
y x +?=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-?-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=
由弦长公式得θ θθ2 2 212
sin 2cot 1(2cot 1p
p y y AB =+=-+= 结论3: 过焦点的弦中通径长最小 p p
2sin 21sin 22≥∴ ≤θ
θ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4: (8
3
2为定值p AB S oAB =? (8
s i n 2s i n s i n 2221s i n 21s i n 21s i n 2 1s i n 21322
20P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB = ∴=
???=??=+?=??+??= +=????θθθθθ?θ 结论5: (1 2 21p y y -= (2 x 1x 2=4 2 p
证44(,2,22 2 221212 22211P P
y y x x p y x p y x ==∴== 结论6:以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证:设M 为AB 的中点,过A 点作准线的垂线AA 1, 过B 点作准线的垂线BB 1, 过M 点作准线的垂线MM 1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 2