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2016年高考数学理试题分类汇编
导数及其应用
一、选择题
??lnx,0?x?1,1、（2016年四川高考）设直线l1，l2分别是函数f(x)= ?图象上点P1，P2处
lnx,x?1,?的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A
2、（2016年全国I高考）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为 【答案】D 二、填空题
1、（2016年全国II高考）若直线y?kx?b是曲线y?lnx?2的切线，也是曲线y?ln(x?1)的切线，则b? ． 【答案】1?ln2
2、（2016年全国III高考）已知f?x?为偶函数，当x?0时，f(x)?ln(?x)?3x，则曲线
y?f?x?在点(1,?3)处的切线方程
是_______________。 【答案】y??2x?1 三、解答题
1、（2016年北京高考） 设函数f(x)?xe方程为y?(e?1)x?4， （1）求a，b的值； （2）求f(x)的单调区间. 【解析】 （I）
a?x?bx，曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线
f(x)?xea?x?bx
∴f?(x)?ea?x?xea?x?b?(1?x)ea?x?b
∵曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y?(e?1)x?4
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∴f(2)?2(e?1)?4，f?(2)?e?1 即f(2)?2ea?2?2b?2(e?1)?4①
f?(2)?(1?2)ea?2?b?e?1 ②
由①②解得：a?2，b?e
（II）由（I）可知：f(x)?xe2?x?ex，f?(x)?(1?x)e2?x?e
令g(x)?(1?x)e2?x，
∴g?(x)??e2?x?(1?x)e2?x?(x?2)e2?x
极小值 ∴g(x)的最小值是g(2)?(1?2)e2?2??1 ∴f?(x)的最小值为f?(2)?g(2)?e?e?1?0 即f?(x)?0对?x?R恒成立
∴f(x)在???,???上单调递增，无减区间.
2、（2016年山东高考）已知f(x)?a?x?lnx??（I）讨论f(x)的单调性；
（II）当a?1时，证明f(x)＞f'?x??2x?1,a?R. 2x3对于任意的x??1,2?成立. 212x－2【解析】(Ⅰ) 求导数f′(x)=a(1－)－3
xx(x)>0，f(x)单调递增， 当a≤0时，x∈(0,1)，f′x∈(1,+∞)，f′(x)<0，f(x)单调递减；
a(x－1)(x－x322)(x+)aa(x－1)(ax2－2)(x)==当a>0时，f′x3（1）
2当0＜a＜２时，>1，
a2,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增， ax∈(0,1)或x∈(如文档对你有用，请下载支持！
x∈(1,2)，f′(x)<0，f(x)单调递减； a (2) 当a=２时，
2+∞)，f′(x)≥0，f(x)单调递增， =1， x∈(0,a2<1， a(3) 当a>２时，0
x2
于是f(x)－f′(x)=x－lnx+2x－1122－(1－－+)，
xx2x3x2312+2－3xxx，x?[1,2]
=x－lnx－1+令g(x)=x－lnx ，h(x)=－1+312+2－3，x?[1,2]， xxx(x)=g(x）+h(x)， 于是f(x)－f′1x－1′g(x)=1－=≥0，g(x)的最小值为g(1)=1；
xx326－3x2－2x+6(x)=－2－3+4=又h′
xxxx410， 设θ(x)=－3x－2x+6，x?[1,2]，因为θ(1)=1，θ(2)=－所以必有x0∈[1,2]，使得θ(x0)=0，且
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