专题九：“一线三角型”模型的应用
1、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上， 且?APM??B，AP=MP，求证：△APB≌△PMC。
分析：证明两个三角形全等，找边、角的等量关系，根据 已有的知识经验，学生很快能够解决。
2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形，如图，
2△ABC为等边三角形，?APM?60?，BP=1,CM?，求△ABC的边长。
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3、如图，等腰梯形ABCD中， AD//BC,AD?3cm,BC?7cm,?B?60?， P为BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PM交DC于M，使得
?APM??B。
（1）求证：△ABP∽△PCM； （2）求AB的长；
（3）在底边BC上是否存在一点P，使得DM:MC=5:3？若存在， 求出BP的长；若不存在，请说明理由。
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4、如图，AB?BD,CD?BD，且AB?6cm,CD?4cm,BD?14cm， 问：在BD上是否存在P点，使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似？如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。
5、已知在梯形ABCD中，AD//BC,AD?BC，且AD=5,AB=DC=2。 （1）如图a，P是AD上的一点，满足?BPC??A。 ①求证：△ABP∽△DPC；②求AP的长。
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足?BPE??A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么：
①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP?x,CQ?y，求y关于x的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；
②当CE=1时，求出AP的长。
6、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点， 当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，如图。
（1）证明Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM?x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数 关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出
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最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值。
7、如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点 B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ?AP交DC于点Q， 设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。
（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；
1（2）当y?cm时，求x的值。
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8、如图，边长为1的正方形OABC的顶点为坐标原点，点A在 x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动 （不与B、C重合），连结OD，过点D作DE?OD，交边AB于点E， 连结OE，设CD=t。
1（1）当t?时，求直线DE的函数表达式；
3（2）当OD2?DE2的算术平方根取最小值时，求点E的坐标。
9、如图，在矩形ABCD中，AB?m（m是大于0的常数）， BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合），连结DE， 作EF?DE，EF与射线BA交于点F，设CE?x,BF?y。
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（1）求y关于x的函数关系式；
（2）若m?8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？
12（3）若y?，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？
m
10、如图，已知在矩形ABCD中，AB=2,BC=3，P是线段AD边 上的任意一点（不含端点A、D），连结PC，过点P作PE?PC交 AB于E。
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC?QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围。
11、在四边形ABCD中AB?BC,DC?BC,AB?a,DC?b,BC?a?b，且a?b，取AD的中点P，连结PB、PC。
（1）试判断三角形PBC的形状；
（2）在线段BC上，是否存在点M，使AM?MD。若存在， 请求出BM的长；若不存在，请说明理由。
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