一线三等角模型

专题九:“一线三角型”模型的应用

1、如图,在△ABC中,AB=AC,P、M分别在BC、AC边上, 且?APM??B,AP=MP,求证:△APB≌△PMC。

分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据 已有的知识经验,学生很快能够解决。

2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图,

2△ABC为等边三角形,?APM?60?,BP=1,CM?,求△ABC的边长。

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3、如图,等腰梯形ABCD中, AD//BC,AD?3cm,BC?7cm,?B?60?, P为BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得

?APM??B。

(1)求证:△ABP∽△PCM; (2)求AB的长;

(3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3?若存在, 求出BP的长;若不存在,请说明理由。

1

4、如图,AB?BD,CD?BD,且AB?6cm,CD?4cm,BD?14cm, 问:在BD上是否存在P点,使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由。

5、已知在梯形ABCD中,AD//BC,AD?BC,且AD=5,AB=DC=2。 (1)如图a,P是AD上的一点,满足?BPC??A。 ①求证:△ABP∽△DPC;②求AP的长。

(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足?BPE??A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么:

①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP?x,CQ?y,求y关于x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围;

②当CE=1时,求出AP的长。

6、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点, 当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,如图。

(1)证明Rt△ABM∽Rt△MCN;

(2)设BM?x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数 关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出

2

最大面积;

(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN,求x的值。

7、如图,正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点 B、C重合的任意一点,连结AP,过点P作PQ?AP交DC于点Q, 设BP的长为xcm,CQ的长为ycm。

(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值;

1(2)当y?cm时,求x的值。

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8、如图,边长为1的正方形OABC的顶点为坐标原点,点A在 x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动 (不与B、C重合),连结OD,过点D作DE?OD,交边AB于点E, 连结OE,设CD=t。

1(1)当t?时,求直线DE的函数表达式;

3(2)当OD2?DE2的算术平方根取最小值时,求点E的坐标。

9、如图,在矩形ABCD中,AB?m(m是大于0的常数), BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合),连结DE, 作EF?DE,EF与射线BA交于点F,设CE?x,BF?y。

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(1)求y关于x的函数关系式;

(2)若m?8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?

12(3)若y?,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?

m

10、如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边 上的任意一点(不含端点A、D),连结PC,过点P作PE?PC交 AB于E。

(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC?QE?若存在,求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由;

(2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求BE的取值范围。

11、在四边形ABCD中AB?BC,DC?BC,AB?a,DC?b,BC?a?b,且a?b,取AD的中点P,连结PB、PC。

(1)试判断三角形PBC的形状;

(2)在线段BC上,是否存在点M,使AM?MD。若存在, 请求出BM的长;若不存在,请说明理由。

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