矩阵的初等变换在线性代数中的应用（四）
李志慧
（陕西师范大学数学与信息科学学院 副教授 博士 西安 710062）
5、求标准正交基
通常的Schmidt方法，使我们可以从欧氏空间R的任意一个基出发，求出一个正交基来，再单位化，求出一个标准正交基．下面给出一种运用矩阵的初等变换，从欧氏空间R的任意一个基求标准正交基的方法[3]．
设ai?(a1i,a2i,?,ani)是R的任意一个基，i?1,2,?,n．以ai'为列向量构成矩阵A?(aji)，则A'A是一个n阶正定矩阵，必与单位矩阵E合同，即存在n阶可逆矩阵Q，使得
nnnQ'(A'A)Q?E 〈5〉
即
(Q'A')(AQ)?E 〈6〉
〈5〉式说明，对矩阵A'A施行一系列的初等变换（相应的初等矩阵的乘积Q）及一系列的行初等变换（相应的初等矩阵的乘积为Q'）可变成单位矩阵．〈6〉式表明，AQ的列向量组是R的一个标准正交基．AQ可以通过对矩阵A施行与对矩阵A'A所施行的相同系列的列初等变换求出，而不必通过先求Q再与A相乘得到．
于是，得到求标准正交基的矩阵初等变换法： 行初等变换A'AE列[]?[] AAQ对A施行列初等变换对A'A施行nAQ的列向量组即为所求．
例7 把a1?(1,1,0,0)，a2?(1,0,1,0)，a3?(?1,0,0,1)，a4?(1,?1,?1,1)变成单位正交的向量组．
?1?1解：令A???0??01?11?00?1??，则 10?1??011?0?0??， 1??1??110?101A'????100??1?1?1?21?10??12?10??， A'A????1?120???0004??
?21?10??1?2?10????1?120???A'A?0004?()??11?11?A???100?1??010?1????0011??????????2除第1列??2除第1行????????10001212000321?20121?21001?23201?212010??0??0??4?? 1????1???1??1????1??1?2?1??2??0?1?2?1??2?0??0122?10101012?120?1001?0??0???0??4?1???01???1??1?第2列?第1列?12121212))第3列?第1列?(?第2行?第1列?第3行?第1行?(?
?????????????????????????????????10001212001000121200?01001?6126600100161206?0????00??40??3??04??1??1???3???1?1???3??1??1??3??11????01000121200?01001612060010112112112312?60?0??0??4?1??? ??1????1??1???0010112112112312?60?0??0??1?1?2? 1???2?1???21??2??所以所求单位正交的向量组为
?1?(112,2,0,0)，
?2?(16,?11216,,26,,0)， 112312?3?(?12112,)，
?4?(,?,,)，
需指出的是，Q'A'?(AQ)'的行向量组，正是AQ的列向量组，所以有求标准正交基的矩阵初等变换法的另一形式
111222初等变换列(A'A?A')?(E?Q'A')
对A'施行行初等变换对A'A施行行Q'A'的行向量即为所求．
如果需要求出Q，则由Q?EQ可知，对单位短阵E施行同样的列初等变换得到Q，即
行初等变换A'AE列[]?[] EQ对E施行列初等变换对A'A施行由此可以看出，利用矩阵的初等变换求欧氏空间R的一组标准正交基，比较简单而且操作方便．
n四、小结
本文介绍了矩阵的初等变换在解决线性代数的有关问题中所具有的特殊作用．特别地我们论述了矩阵的初等变换在求矩阵的秩、向量组的极大线性无关组、解线性方程组以及求标准正交基等问题中的应用，并给出了部分例子．可以看出，利用矩阵初等变换在处理相应问题问题时具有简单、快速、易于操作等特点．值得注意的是，矩阵的初等变换共有六种，当我们处理不同的问题时，可能使用初等变换的种类会不一样．如在本文中我们发现：在求向量组的极大线性无关组时只用了三种类型，而求矩阵的初等变换时却可以用六种初等变换，因此，我们在具体使用时要灵活应用．实质上，利用矩阵的初等变换还可以得到解决求矩阵的逆、特征值与特征向量、二次型的标准型等问题的有效方法．当然，我们在学习中可能还会发现利用矩阵的初等变换来解决有关问题的典型例子，这也是值得我们进一步探讨的一个问题．
参考文献
1.北京大学数学系几何与代数小组，高等代数，高教出版社，1988年3月． 2．张小红，蔡秉徒，高等代数专题研究选编，陕西科学技术出版社，西安，1992．
3．Werner Greub， Linear Algebra, Springer-Verlag New York Heidelberg, Berlin,1982.