方差和标准差——知识讲解
【学习目标】
1. 了解方差和标准差的概念，会计算简单数据的方差，体会它们刻画数据离散程度的意义； 2. 知道可以通过样本的方差来推断总体的方差.能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测；
3. 能综合运用统计知识解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】
要点一、方差和标准差 1.方差
在一组数据x1,x2,…，xn中，设它们的平均数是x，各数据与平均数的差的平方的平均数S?21?x1?x?2?(x2?x)2?...?(xn?x)2叫做这组数据的方差. n??方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定. 要点诠释：
（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况. 方差越大，稳定性越差；反之，则稳定性越好．
（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的k倍.
2.标准差
一般地，一组数据的方差的算术平方根
称为这组数据的标准差. 要点诠释：
（1）标准差的数量单位与原数据一致.
（2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、方差和标准差的联系与区别
联系：方差和标准差都是用来衡量一组数据偏离平均数的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况.
区别：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的结果，主要反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个数据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指标.
在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小. 方差的单位是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据单位相同.
【典型例题】
类型一、方差和标准差
1. 一组数据－2，－1，0，1，2的方差是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
2
【思路点拨】按照“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法，利用求方差的公式：
S2?1?x1?x?2?(x2?x)2?...?(xn?x)2计算. n2??【答案】B
【解析】该组数据的平均数是0，所以s?12222??(?2)?(?1)?1?2?=2. 5?【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式.
举一反三：
15，17，16，15，其方差为0.8，则3年后这五【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为17，名队员年龄的方差为______． 【答案】0.8.
2.已知某样本的标准差是2，则这个样本的方差是（ ） A.1 B.2 C.2 D.4 【思路点拨】根据标准差的概念计算．标准差是方差的算术平方根． 【答案】D；
【解析】解：由于方差的算术平方根就是标准差，所以样本的方差=2=4．
故选D．
【总结升华】正确理解标准差的概念，是解决本题的关键．标准差是方差的算术平方根． 举一反三：
【变式】下列说法：其中正确的个数有（ ） （1）方差越小，波动性越小，说明稳定性越好； （2）一组数据的众数只有一个；
（3）数据2，2，3，2，2，5的众数为4； （4）一组数据的标准差一定是正数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】B.
提示：（1）正确.
类型二、方差和标准差的实际应用
3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，?参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均字数 甲 乙 55 55 149 151 191 110 135 135 2 分析此表得出如下结论：（ ） （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；
（2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字150个为优秀） （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大． A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3） 【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同. 【答案】B
【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是135个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上看，乙班的151大于甲班的149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看，甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大.因此，（1）（2）（3）都正确，选B. 【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含义. 举一反三： 【变式】（2015?崇左）甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是
x甲=85,x乙=85，x丙=85，x丁=85，方差是S甲2=3.8，S乙2=2.3，S丙2=6.2，S丁2=5.2，则
成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B.
解：∵S甲2=3.8，S乙2=2.3，S丙2=6.2，S丁2=5.2，
∴S乙2＜S甲2＜S丁2＜S丙2， ∴成绩最稳定的是乙． 故选B．
4.（2016春?商水县期末）甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积产量如下：（单位：吨/公顷）
品种 甲 乙 第1年 9.8 9.4 第2年 9.9 10.3 第3年 10.1 10.8 第4年 10 9.7 第5 年 10.2 9.8 （1）哪种水稻的平均单位面积产量比较高？ （2）哪种水稻的产量比较稳定．
【思路点拨】首先求得平均产量，然后求得方差，比较方差，越小越稳定． 【答案与解析】 解：（1）x甲=1?9.8+9.9+10.1+10+10.2?=10， 5x乙=1?9.4+10.3+10.8+9.7+9.8?=10， 5所以甲、乙两种水稻的平均产量一样高； （2）甲中水稻产量的方差是：
[（9.8﹣10）+（9.9﹣10）+（10.1﹣10）+（10﹣10）+（10.2﹣10）]=0.02， 乙种水稻产量的方差是：
[（9.4﹣10）+（10.3﹣10）+（10.8﹣10）+（9.7﹣10）+（9.8﹣10）]=0.244． ∴0.02＜0.244，
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