高 一 数 学 必 修 1 各 章 知 识 点 总 结
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 2.
集合的含义
集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性如：世界上最高的山
(2) 元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3) 元素的无序性 : 如： {a,b,c} 和 {a,c,b} 是表示同一个集合
3. 集合的表示： {} 如： { 我校的篮球队员 } ，{ 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 } (1) 用拉丁字母表示集合： A={我校的篮球队员 },B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 正整数集
N* 或 N+
记作： N
整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
1） 列举法： {a,b,c} 2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来， 写在大括号内表示集合
的方法。 {x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3） 语言描述法：例： { 不是直角三角形的三角形 } 4） Venn 图 : 4、集合的分类：
含有有限个元素的集合 (1) 有限集
含有无限个元素的集合 (2) 无限集
例： {x|x 2 =－ 5｝ 不含任何元素的集合 (3) 空集
二、集合间的基本关系
1. “包含”关系—子集 注意： A
B 有两种可能 （ 1）A 是 B 的一部分， ；（ 2）A 与 B 是同一集合。
反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A 2．“相等”关系： A=B (5 ≥ 5，且 5≤ 5，则 5=5)
B 或 B
A
2
实例：设 即：① “元素相同则两集合相等” A={x|x -1=0} B={-1,1}
任何一个集合是它本身的子集。 A A
②真子集 : 如果 A B, 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A
B A)
③如果 A B, B C , 那么 A C ④ 如果 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 Φ 规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
B( 或
有 n 个元素的集合，含有 2 三、集合的运算 运算 类型 定 义
n
个子集， 2n-1 个真子集
交
集
并
集
补 集
由所有属于 A 且属 由所有属于集合 A 或
设 S 是一个集合， A 是 S 的一个子集，由 S 中
于 B 的元素所组成 的集合 , 叫做 A,B 的 交集 ．记作 A B（读
属于集合 B 的元素所 组成的集合， 叫做 A,B 的并集 ．记作： A B
所有不属于 A的元素组 成的集合， 叫做 S 中子
集 A 的补集（或余集）
作‘ A 交 B’），即
（读作‘ A 并 B’），
记作 CS A ，即
A
B=｛ x|x A，且
即 A
B ={x|x
A，
{ x| x S, 且x x
B｝．
或 x
B}) ．
A}
CSA=
韦 A
B
A
恩
B
S
图A
示
图 1
图 2
性
A
A=A A A=A (CuA)
(C uB)
A Φ =Φ A Φ =A
= Cu (A
B)
A B=B A A B=B A
A
B A
A
B Ａ
(CuA)
(C uB)
质
A B B
A B B
= C (A B)
u
A (C uA)=U
A
(C uA)= Φ ．
例题：
1. 下列四组对象，能构成集合的是
（ ）
A 某班所有高个子的学生
B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2. 集合 {a ， b， c } 的真子集共有 个
3. 若集合 M={y|y=x 2
-2x+1,x R},N={x|x ≥ 0} ，则 M与 N 的关系是
.
4. 设集合 A= x 1 x 2 ， B= x x a ，若 A B，则 a 的取值范围是
5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 人，化学实验做得正确得有
31 人，
两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有
人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M=
.
2
2
7. 2
已知集合 2
A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m-19=0}, 若 B∩ C≠ Φ ， A∩ C=Φ ，求 m的值
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系
f ，
使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数． 记作： y=f(x) ，
x∈A．其中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)| x ∈ A } 叫做函数的值域．注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1) 分式的分母不等于零；
(2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零；
(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
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(5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .
(6) 指数为零底不可以等于零，
(7) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 ( 两点必须同时具备 ) ( 见课本 21 页相关例 2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1) 观察法
(2) 配方法 (3) 代换法
3. 函数图象知识归纳
(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈ A) 中的 x 为横坐标， 函数值 为纵坐标的点 P ， 的集合 C，叫做函数 ∈ A) 的图
象．C 上每一点的坐标 (x ，y) 均满足函数关系 y=f(x) ，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 (x ， y) ，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换
2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念
（ 1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （ 2）无穷区间
（ 3）区间的数轴表示．
y
(x
y)
y=f(x),(x
5．映射
一般地， 设 A、B 是两个非空的集合， 如果按某一个确定的对应法则 f ，
使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之
f ： A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“ 对应，那么就称对应 f
（对应关系）： A（原象） B（象）”
对于映射 ： → 来说，则应满足：
(1) 集合 A 中的每一个元素，在集合 B中都有象，并且象是唯一的； (2) 集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6. 分段函数
(1) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2) 各部分的自变量的取值情况．
f
A B
(3) 分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．补充：复合函数
如果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈ A) 称为 f 、 g 的复合函数。
二．函数的性质
1. 函数的单调性 ( 局部性质 ) （ 1）增函数
设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1，x2，当 x1 时，都有 f(x ) 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x ，x ，当 x 1 2 1 2 1