圆锥曲线命题角度5：圆锥曲线的定值、定点问题
21．动点P在圆E： ?x?1??y?16上运动，定点F?1,0?，线段PF的垂直平分线与直线PE的交
2点为Q． （Ⅰ）求Q的轨迹T的方程；
（Ⅱ）过点F的直线l1， l2分别交轨迹E于A， B两点和C， D两点，且l1?l2．证明：过AB和CD中点的直线过定点．
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x2y232. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点A是椭圆上任意一点,
ab2?AF1F2的周长为4?23. (Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)过点Q (-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记
?????????????????MQ??QN,若在线段MN上取一点R,使得MR???RN,则当直线l转动时,点R在某一定直线上运动,求该定直线的方程．
3.已知点A,B的坐标分别为?2,0,???2,0，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积是??1，2点M的轨迹为曲线E. （Ⅰ）求E的方程；
????????????????（Ⅱ）过点F?1,0?作直线l交曲线E于P,Q两点，交y轴于R点，若RP??1PF， RQ??2QF，证明：
?1??2为定值.
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?x2y22?4. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，椭圆C过点P?1,?2??，直线PF1交ab??y轴于Q，且
， O为坐标原点． （1）求椭圆C的方程；
（2）设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA,MB交椭圆C于A,B两点，设这两条直线的斜率分别为k1,k2，且k1?k2?2，证明：直线AB过定点．
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5. 如图已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：
[来，设圆与椭圆交于点与点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点是椭圆上异于、的任意一点，且直线、
分别与轴交于点、，为坐标原点，求证：为定值．
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x2y236.已知椭圆C:2?2?1(a?0,b?0)右顶点A?2,0?，离心率e?．
ab2（1）求椭圆C的方程；
（2）设B为椭圆上顶点， P是椭圆C在第一象限上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问?PMN与?PAB面积之差是否为定值？说明理由．
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7.在直角坐标系xOy中， 动圆M与圆O1:x2?2x?y2?0外切，同时与圆O2:x2?y2?2x?24?0内切.
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设动圆圆心M的轨迹为曲线C，设A,P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B (异于点P)，若直线AP,BP分别交x轴于点S,T，证明: OS·OT 为定值.
x2y28. 已知A、F分别是椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当
abPF?x轴时， AF?2PF.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形（点P在第一象限），求直线AP与OQ的斜率之积；
ab为椭圆C的“关联圆”. 若b?3，过点P作椭圆C的“关联圆”的两
a2?b234条切线，切点为M、N，直线MN的横、纵截距分别为m、n，求证： 2?2为定值.
mn22（3）记圆O:x?y?3