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即：Ni?xi,yi??Nj?xj,yj??Nk?xk,yk??1 （由i,j,k轮换性知） 同理可证：Ni?xj,yj??Ni?xk,yk??0 （作业：证明：Ni?xj,yj??0?i?j?i,j,k?）
?Ni?xi,yi??1,Ni?xj,yj??0,Ni?xk,yk??0??0,i?j?j ????????Nx,y?0,Nx,y?1,Nx,y?0?Nj????jii?jjjjkkii1,i?j???N?x,y??0,N?x,y??0,N?x,y??1kjjkkk?kii因此
（2-12）
即形函数在自己节点上为1，在其余节点上为0。
2. 在单元上任意一点，三个形函数之和为1，即
Ni?x,y??Nj?x,y??Nk?x,y??1。
证明：
?ai?aj?ak??xjyk?xkyj???xkyj?xiyk???xiyj?xjyi??2Abi?bj?bk??yj?yk???yk?yi???yi?yj??0ci?cj?ck??xk?xj???xi?xk???xj?xi??0 （2-13）
?Ni?x,y??Nj?x,y??Nk?x,y??1由此可见，三个形函数中只有2个是独立的，即第三个可由其余两个表示。
3. ij边上的形函数Ni?i?i,j,k?与节点k的坐标无关（i，j, k轮换），即在ij边上有：
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x?xi???Nx,y?1??ixj?xi??x?xi???Nx,y? （i，j, k轮换） （2-14） ?jxj?xi??N?x,y??0?k??证明：设 节点i 坐标：?xi,yi?,节点j 坐标：?xj,yj?。 求：ij 边的直线方程。
在ij边上： 由性质2 ：
即在i ,j 边上有：
x?xi???Nx,y?1??ixj?xi??x?xi? （2-15） ?Nj?x,y??x?xji??N?x,y??0?k??证毕。 同理知：（轮换）
在jk边上有： 在ki 边上有：
几何表示：
五、三角形单元位移函数的收敛性
（要点提示：单元位移函数的三条收敛准则及意义）
下面我们来验证所设的位移函数??u??1??2x??3y 满足收敛准则（三条）。
?v??4??5x??6y1、 单元的位移函数解反映单元的刚体位移（包含有）
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??u??x??x???v由几何方程：??y? 寻找物体发生刚体位移的条件。
?y???u?v????xy?y?x?若物体发生刚体位移，则有：
由?xy?0得：
?f1?y??f2?x?df?y?df2?x? ??0 ??1??y?xdydx等式两侧分别为x和y的函数，要使其相等只有：
?f1?y??u0??y积分：? 式中u0,v0为积分常数
??fx?v??x0?2故位移：??u?f1?y??u0??y??x??y??xy?0
?v?f2?x??v0??x即：（不难证明）以上两项是发生刚体位移的充要条件。 因为这是?x??y??xy的情形。故： 事实上，将位移函数改变形式为：
显然可看出：
???1?体现x方向的刚体位移（与x,y无关）?x,y无关）??4?体现y方向的刚体位移（与 （其它系数意义后述）
????3?5?体现绕z转的刚体转动?22、
单元位移函数解反映单元的常应变
??u??2??x??x???v????6 ?y?y???u?v?????3??5?xy?y?x???u??x??x???v??由： 可以?y?y???u?v????xy?y?x?11?xy???????3??5????3??5?
22得到：
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