第1讲 集合与常用逻辑用语
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1. (2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x＋y≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 A．9 C．5
2
2
B．8 D．4
( )
解析：将满足x＋y≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A
2．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3<1}，则 A．A∩B＝{x|x<0} C．A∪B＝{x|x>1}
解析：集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}， ∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}．故选A. 答案：A
3．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝
A．{1，－3} C．{1,3}
( )
2
x ( )
B．A∪B＝R D．A∩B＝?
B．{1,0} D．{1,5}
2
解析：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，
m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，故选C.
答案：C
4．(2018·高考北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)＝(3a＋b)， ∴a－6a·b＋9b＝9a＋6a·b＋b， 又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；
2
2
2
2
2
2
( )
反之也成立．故选C. 答案：C
1. 设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝ ( ) A．{2} C．{1,2,4,6} 答案：B
2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝a，a∈P，b∈Q}，若P＝{1,2}，Q＝{－1,0,1}，则集合P*Q中元素的个数是 A．2 C．4
bbB．{1,2,4}
D．{x∈R|－1≤x≤5}
( )
B．3 D．5
b解析：当b＝0时，无论a取何值，z＝a＝1；当a＝1时，无论b取何值，a＝1；当a1－11
＝2，b＝－1时，z＝2＝；当a＝2，b＝1时，z＝2＝2.
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故P*Q＝{1，，2}，该集合中共有3个元素．
2答案：B
3．已知命题p：对任意x∈R，总有2>x；q：“ab>1”是“a>1，b>1”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 A．p∧q C．p∧綈q
( )
x2
B．綈p∧q D．綈p∧綈q
11－12x2
解析：命题p：x＝－1时，2＝，(－1)＝1，显然<1，即2 22题． 命题q：若a>1，b>1，则由不等式的性质可得ab>1，所以“ab>1”是“a>1，b>1”的必要条件； 1 反之，当a＝4，b＝时，ab＝2>1，所以“ab>1”?/ “a>1，b>1”，即“ab>1”是“a>1， 2 b>1”的不充分条件． 综上，“ab>1”是“a>1，b>1”的必要不充分条件．故该命题为假命题． 由含逻辑联结词的命题判断可知，p∧q为假命题，綈p∧q为假命题，p∧綈q为假命题，綈p∧綈q为真命题．故选D. 答案：D 4．在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则“A>B”是“cos 2A ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由三角形中的“大角对大边，大边对大角”可得A>B?a>b；由正弦定理可得a>b?sin A>sin B，所以A>B?sin A>sin B. 而cos 2A＝1－2sinA，cos 2B＝1－2sinB，而sin A>0，sin B>0， 故cos 2A 5．命题p：?x∈[0,1]，a≥2；命题q：?x∈R，使得x＋4x＋a＝0.若命题“p∨q”是真命题，“綈p∧q”是假命题，则实数a的取值范围为________． 解析：命题p为真，则a≥2(x∈[0,1])恒成立， 因为y＝2在[0,1]上单调递增，所以2≤2＝2， 故a≥2，即命题p为真时，实数a的取值集合为P＝{a|a≥2}． 若命题q为真，则方程x＋4x＋a＝0有解，所以Δ＝4－4×1×a≥0，解得a≤4. 若命题q为真时，实数a的取值集合为Q＝{a|a≤4}． 若命题“p∨q”是真命题，那么命题p，q至少有一个是真命题； 由“綈p∧q”是假命题，可得綈p与q至少有一个是假命题． ①若p为真命题，则綈p为假命题，q可真可假，此时实数a的取值范围为[2，＋∞)； ②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“綈p∧q”为真命题，不合题意． 综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 2 2 2 2 x2 xxx1