则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a?7，因此C所包含的样本点只有71这一点，于是P(C)?有利样本数1=.
样本总数1001.11 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2n根草的情形。
解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5?3?1种接法，同样对尾也有5?3?1种接法，所以样本点总数为
(5?3?1)2。用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有5?3?1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4?2。所以A包含的样本点数为
(5?3?1)(4?2)，于是P(A)?(5?3?1)(4?2)8? 15(5?3?1)2(2) 2n根草的情形和(1)类似得
1.12 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。
解：以x，y分别表示汽车和乘客到达车站的时间，则事件A“若乘客在候
?0?x,y?5?车时间不超过三分钟能坐上车”时，满足以下条件?y?x?3?2?x?y?，
S阴影3=S?5在平面上建立直角坐标系，则（x，y）的所有可能结果是边长为5的正方形，而满足事件A的情况由阴影部分所表示，这是一个几何概率问题，由等可能性知
所求概率为P(A)?。
1.13 在?ABC中任取一点P，证明?ABP与?ABC的面积之比大于率为
n?1的概n1。 2n1CD，当且仅当点P落入?CA?B?之内时?ABP与?ABC的面n2解 截取CD??21CD?A?B?C的面积CD?n?11n2?积之比大于，因此所求概率为P(A)?。 ??222?ABC的面积CDnnCD1.14 在线段AB上任取三点x1,x2,x3，求：
(1) x2位于x1与x3之间的概率。(2) Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。
111?3??132?1 解 (1) P(A)? (2) P(B)?3121.15 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可
能事件？试举例说明之。
解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件A“该点命中AB的中点”的概率等于零，但A不是不可能事件。
1.16 设A1、A2为两个随机事件，证明： (1) P(A1A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2);
(2) 1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2). 证
明
(1)
P(A1A2)?P(A1?A2)?1?P(A1?A2)=1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)
(2) 由(1)和P(A1A2)?0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.17 对于任意的随机事件A、B、C，证明：P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A) 证明 P(A)?P[A(B?C)]?P(AB)?P(AC)?P(ABC)
?P(AB)?P(AC)?P(BC)
1.18设A,B,C
1是三个随机事件，且P(A)?P(B)?P(C)?，4
P(AB)?P(AC)?18,
P(BC)?0.求P(AUBUC)。
解：因为P(BC)?0，所以P(ABC)?0。则
P(AUBUC)=P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)111?3??2??
4821.19 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：
(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；
(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。 解 事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。
(1) P(ABC)?P(A?(AB?AC))=P(A)?P(AB?AC)=30% (2) P(ABC)?P(AB?ABC)?7%
(3) P(BAC)?P(B)?[P(AB)?P(BC)?P(ABC)]?23% P(CAB)?P(C)?[P(AC)?P(BC)?P(ABC)]?20% P(ABC?+BAC+CAB)=P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73% (4) P(ABC?ACB?BCA)?P(ABC)?P(ACB)?P(BCA)?14% (5) P(A?B?C)?90%
(6) P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?90%?10%
L,An1,20设A1,A2，n为n个随机事件，证明：
i1?i?ni1?i?j?n（1）P(UA)??P(A)??i?1P(AiAj)?L???1?n?1P(A1A2LAn)
(2)
P(IAi)?i?1n1?i?n?P(A)??i1?i?j?nP(AiUAj)?1?i?j?k?n?P(AiUAjUAk)?L???1?n?1P(UAi)i?1n证明：（1）应用数学归纳法
P(AUB)?P(A)?P(B)?P(AB)P(AUBUC)?P(AUB)?P(C)?P?(AUB)IC??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(ACUBC)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
当n=1,2时等式成立，假设当n=k时，等式成立，即
P(UAi)?i?1k1?i?k?P(Ai)?1?i?j?k?P(AiAj)?L???1?k?1P(A1A2LAk)
，
当
k?1i?1ki?1n=k+1
kki?1i?1时
P(UAi)?P(UAiUAk?1)?P(UAi)?P(Ak?1)?P(UAiIAk?1)?1?i?k?P(Ai)?1?i?j?k?P(AiAj)?L???1?k?1P(A1A2LAk)?P(A1Ak?1UA2Ak?1ULUAkAk?1)而
P(A1Ak?1UA2Ak?1ULUAkAk?1)??P(AiAk?1)?i?1k1?i?j?k?P(AiAjAk?1)?L?(?1)kP(A1A2LAk?1)
则上式=
P(UAi)?i?1k?11?i?k?1?P(Ai)?1?i?j?k?1?P(AiAj)?L???1?P(A1A2LAk?1)k
所以当n=k+1时也成立。