数列通项公式的十种求法
一、公式法
n例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3ana12，则，故数列是以????{}??1为首项，n?1nn?1nn1222222222a33以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得n，所以数列{an}的通项公式为?1?(n?1)n22231an?(n?)2n。
22n解：an?1?2an?3?2两边除以2n?1，得
n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2转化为
an?1an3an，说明数列??{}是等差数列，再n?1nn2222直接利用等差数列的通项公式求出二、累加法
an3，进而求出数列{an}的通项公式。 ?1?(n?1)n22例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
2所以数列{an}的通项公式为an?n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求出
(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
n例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
解：由
an?1?an?2?n?3得
1an?1?an?2?3n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3
?32?31)?(n?1)?3n所以an?3?n?1.
nn评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3?1转化为an?1?an?2?3?1，进而求出
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
n例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
nn?1解：an?1?3an?2?3?1两边除以3，得
an?1an21?n??n?1， n?13333则
an?1an21，故 ???3n?13n33n?11(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???n331?3322?3则an?211?n?3n??3n?. 322an?1an21，进而求出???3n?13n33n?1n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3?1转化为
(anan?1an?1an?2an?2an?3?)?(?)?(?)?3n3n?13n?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?an?，即得数列?)??n?的通项公式，最后再求数列
32313?3?{an}的通项公式。
三、累乘法
n例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3
?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??2n?1[n(n?1)??3?2n?1?3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!n?1?3?5n(n?1)2所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
nn?1)?5an转化为评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(an?1n?2(n?1)5，进而求出ananan?1??an?1an?2?a3a2??a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1例6 （2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列{an}满足
a1?1，an?a1?2a2?3a3?解：因为an?a1?2a2?3a3?所以an?1?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通项公式。 ?(n?1)an?1(n?2)
②
①
?(n?1)an?1?nan
用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
故
an?1?n?1(n?2) ananan?1??an?1an?2a3?a2?[n(n?1)?a2n!a2. 2所以an???4?3]a2? ③
由an?a1?2a2?3a3?代入③得an?1?3?4?5??(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知a1?1，则a2?1，
?n?n!。 2n!. 22转)化为
所以，{an}的通项公式为an?ann(?评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an?1?n?1(n?2)，进而求出ananan?1??an?1an?2?a3?a2，从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的通项公式。 a2四、待定系数法
n例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。
解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④