初中数学《一元二次方程》全章讲义
内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0). 2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题.
知识点一：一元二次方程的定义及一般形式
【知识要点】
一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0(a?0) 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A 3?x?1??2?x?1? B
211??2?0 x2x22 C ax?bx?c?0
2
2D x?2x?x?1
2变式：当k 时，关于x的方程kx?2x?x?3是一元二次方程。 例2、方程?m?2?x针对练习：
1、方程8x?7的一次项系数是 ，常数项是 。
2m?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
2、若方程?m?1?x2?m?x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
知识点二：一元二次方程的解
【知识要点】
1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。 2、 在ax?bx?c?0(a?0)中，x取特殊值时，a、b、c之间满足的关系式。 例1、已知2y?y?3的值为2，则4y?2y?1的值为 。
222例2、关于x的一元二次方程?a?2?x?x?a?4?0的一个根为0，则a的值为 。
222例3、一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的系数满足a?c?b，则此方程必有一根为 。
例4、已知a,b是方程x?4x?m?0的两个根，b,c是方程x?8x?5m?0的两个根，则m的
22值为 。
第 1 页 共 1 页
针对练习：
1、已知方程x?kx?10?0的一根是2，则k为 ，另一根是 。
22、已知m是方程x?x?1?0的一个根，则代数式m?m? 。
223、已知a是x?3x?1?0的根，则2a?6a? 。
224、方程?a?b?x2??b?c?x?c?a?0的一个根为（ ）
A ?1 B 1 C b?c D ?a
5、若2x?5y?3?0,则4x?32y? 。
知识点三：一元二次方程的解法
【知识要点】
一元二次方程的常用解法有（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解法。
通常可以这样选择合适的解法：
（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。 （2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。
（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。 （4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。 例1、解方程：?1?2x2?8?0; ?2??1?x??9?0;
2
例2、若9?x?1??16?x?2?，则x的值为 。
22例3、2x?x?3??5?x?3?的根为（ ）
A x?525 B x?3 C x1?,x2?3 D x? 2522例4、若?4x?y??3?4x?y??4?0，则4x+y的值为 。
22变式1：a?b????a22?b2??6?0,则a2?b2? 。
变式2：若?x?y??2?x?y??3?0，则x+y的值为 。
变式3：若x?xy?y?14，y?xy?x?28，则x+y的值为 。
22 第 2 页 共 2 页
例5、方程x2?x?6?0的解为（ ）
A.x1??3，x针对练习：
1、若实数x、y满足?x?y?3??x?y??2?0，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
2?2 B.x1?3，x2??2 C.x1?3，x2??3 D.x1?2，x2??2
1?2的解是 。 x214x2?2??1 3．解方程：
x?2x?42?x2、方程：x?2
知识点四：配方法运用
【知识要点】
用配方法解一元二次方程的一般步骤： 例：用配方法解4x?6x?1?0 第一步，将二次项系数化为1：x2?第二步，移项： x2?231（两边同除以4） x??0，
2431x?? 243313x?()2???()2 2444第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：x2?第四步，完全平方：(x?)?3425 16第五步，直接开平方：x?2355353???,x2??? ，即:x1??4444442例1、试用配方法说明x?2x?3的值恒大于0，?10x?7x?4的值恒小于0。
例2、已知x、y为实数，求代数式x?y?2x?4y?7的最小值。
22
例3、已知x?y?4x?6y?13?0，x、y为实数，求x的值。
22y
变式：已知x?
第 3 页 共 3 页
2111?x??4?0x?? . ，则
xxx2