真题演练集训
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( ) A．m∥l C．n⊥l 答案：C
解析：因为α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.故选C.
2．如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则( )
B．m∥n D．m⊥n
A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α C．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α 答案：B
解析：∵ A′C和BC都不与CD垂直， ∴ ∠A′CB≠α，故C，D错误． 当CA＝CB时，容易证明∠A′DB＝α.
不妨取一个特殊的三角形，如Rt△ABC，令斜边AB＝4，AC＝2，BC＝23，如图所示，则
CD＝AD＝BD＝2，∠BDH＝120°，
设沿直线CD将△ACD折成△A′CD，使平面A′CD⊥平面BCD，则α＝90°. 取CD中点H，连接A′H，BH，则A′H⊥CD，
∴ A′H⊥平面BCD，且A′H＝3，DH＝1. 在△BDH中，由余弦定理可得BH＝7. 在Rt△A′HB中，由勾股定理可得A′B＝10.
在△A′DB中，∵ A′D＋BD－A′B＝－2<0，可知cos∠A′DB<0， ∴ ∠A′DB为钝角，故排除A. 故选B.
3．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β. ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n. ③如果α∥β，m?α，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 答案：②③④
解析：对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立；
2
2
2
命题②正确，证明如下：设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥
α知m⊥l，从而m⊥n，结论正确；
由平面与平面平行的定义知，命题③正确； 由平行的传递性及线面角的定义知，命题④正确．
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：
(1)直线DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点， 所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F， 所以直线DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因为A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.
又A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1 ，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.
又B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F. 因为直线B1D?平面B1DE， 所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
5．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠
AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.
(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值． (1)证明：由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE， 所以AF⊥平面EFDC. 又AF?平面ABEF， 故平面ABEF⊥平面EFDC.
(2)解：过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.
→
标系G－xyz.
→
以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，|GF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐
由(1)知∠DFE为二面角D－AF－E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF＝2，DG＝3，可得
A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，3)．
由已知，AB∥EF，所以AB∥平面EFDC. 又平面ABCD∩平面EFDC＝ CD， 故AB∥CD，CD∥EF.
由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，
所以∠CEF为二面角C－BE－F的平面角，∠CEF＝60°. 从而可得C( －2,0，3)．
→
→
→
→
连接AC，则EC＝(1,0，3)，EB＝(0,4,0)，
AC＝(－3，－4，3)，AB＝(－4,0,0)．
设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则 →??n·EC＝0，?→??n·EB＝0，
?x＋3z＝0，
即?
?4y＝0，
所以可取n＝(3,0，－3)．
→??m·AC＝0，
设m是平面ABCD的法向量，则?→
??m·AB＝0，同理可取m＝(0，3，4)．