第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法
用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法
瑞利（Rayleigh）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商
设一个n自由度振动系统，其质量矩阵为?M?、刚度矩阵为?K?。多自由度系统的动能和势能一般表达式为
TT??x??M??x?/2??? TU??x??K??x?/2?? (4.1.1)
当系统作某一阶主振动时，设其解为
?x???A?sin??t??????
?x???A??cos??t?????(4.1.2)
将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值Tmax和势能最大值Umax分别为
TTmax??2?A??M??A?/2??? TUmax??A??K??A?/2?? (4.1.3)
根据机械能守恒定律，Tmax?Umax，即可求得
A??K??A??2???RI?A? T?A??M??A?102
T(4.1.4)
其中，RI?A?称为第一瑞利商。当假设的位移幅值列向量?A?取为系统的各阶主振型?Ai?时，第一瑞利商就给出各阶固有频率?i的平方值，即
Ai??K??Ai??2?i?T?Ai??M??Ai?T(i?1,2,,n)
(4.1.5)
在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型?Ai?，只能以假设的振型?A?代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率?i的估计值。从理论上讲，可用式（4.1.4）近似求解各阶固有频率，但由于对系统的高阶主振型很难作出合理的假设，所以，该式一般只用来估算系统的基频?1。
§4.1.2 第二瑞利商
瑞利能量法也可以应用于由柔度矩阵Δ???建立的位移运动方程。这时自由振动方程
{x}??[?][M]{x}
(4.1.6)
代入式（4.1.1），注意到???、?M?M是对称矩阵，以及????K???I?，则系统的势能为
由式（4.1.2）可得
U?{x}T[M]T[?][M]{x}2
(4.1.7)
{x}???2{A}sin(?t??)
(4.1.8)
将上式代入式（4.1.7），系统势能的最大值为
Umax??4{A}T[M]T[?][M]{A}2
由Tmax?Umax可得
(4.1.9)
A??M??A??2???RII(A) T?A??M?????M??A?T(4.1.10)
RII(A)称为第二瑞利商。
可以证明，若所选假设振型?A?很接近于第一阶主振型?A1?，则由第一瑞利商和第二瑞利商计算出的?值
2
确实接近于?1，而且比实际值稍大（所谓上限估计）。对于同一假设振型?A?，第二瑞利商比第一瑞利商更接
2103
近真实值?1，但其精确程度主要取决于假设振型?A?接近于第一阶主振型?A1?的程度。
2例4.1 在图4.1.1所示三自由度系统中，试用瑞利能量法估算系统的第一阶固有频率。已知
m1?m2?m3?m，k1?k2?k3?k。
图 4.1.1
【解】 系统的质量矩阵为 刚度矩阵为 柔度矩阵为
粗略地假设振型为{A}?[111]，从而得
T?A?T?M??A??3m （1） ?A?T?K??A??k （2）
?A??M?????M??A??100??111??100??1?1?14m2 （3） ????????(111)m?010??122?m?010??1??kk????????0011230011????????式（1）、（2）代入式（4.1.4）得 式（1）、（3）代入式（4.1.10）得
系统的第一阶固有频率的精确值为?1?0.198这是因为假设振型与第一阶精确振型{A1}?[0.4452Tk，显然第二瑞利商的结果较接近精确值，但误差还较大，m0.8021]T相差较远的缘故。
如果在图4.1.1的每一个质量上顺坐标方向分别作用一单位力，则以该静变形曲线作为假设振型，即取 则有
由式（4.1.4）得 由式（4.1.10）得
可见，假设振型与第一阶主振型愈接近，则瑞利商结果愈接近于基频?1。
例4.2 如图4.1.2所示，已知梁的弯曲刚度为EJ，不计其质量，m1?m3?m，m2?2m，求系统的第一阶固有频率。
图4.1.2
2【解】 系统的质量矩阵为
104