2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第4讲二次函数与幂函数教学案理北师大版

第4讲 二次函数与幂函数

一、知识梳理 1.幂函数

(1)定义:形如y=x(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.常1

-1

见的五类幂函数为y=x,y=x,y=x,y=x2,y=x.

2

3

α(2)五种幂函数的图象

(3)性质

①幂函数在(0,+∞)上都有定义;

②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图象和性质

解析式 2

2

f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象 定义域 值域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) ?4ac-b,+∞? ?4a???在?-∞,-?上递减; 2a??在?-,+∞?上递增 ?2a?2?-∞,4ac-b? ?4a???在?-∞,-?上递增; 2a??在?-,+∞?上递减 ?2a?2?b??b?单调性 ?b??b?对称性 常用结论 1.幂函数的图象和性质

函数的图象关于x=-对称 2ab(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.

(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (3)当α>0时,y=x在[0,+∞)上为增函数; 当α<0时,y=x在(0,+∞)上为减函数. 2.一元二次不等式恒成立的条件

??a>0,(1)ax+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是?2

?b-4ac<0.?

2

αα(2)ax+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是?二、教材衍化

2

?a<0,?

2

??b-4ac<0.

2??1α1.已知幂函数f(x)=k·x的图象过点?,?,则k+α=________.

?22?

2??1α解析:因为函数f(x)=k·x是幂函数,所以k=1,又函数f(x)的图象过点?,?,

?22?213?1?所以??=,解得α=,则k+α=. 222?2?

3

答案: 2

2.如图是①y=x;②y=x;③y=x在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为________.

abcα

解析:根据幂函数的性质可知a<0,b>1,0

3.函数g(x)=x-2x(x∈[0,3])的值域为________. 解析:由g(x)=x-2x=(x-1)-1,x∈[0,3], 得g(x)在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数. 所以g(x)min=g(1)=-1,而g(0)=0,g(3)=3. 所以g(x)的值域为[-1,3]. 答案:[-1,3]

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) 1

(1)函数y=2x2是幂函数.( )

(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. ( ) (3)当n<0时,幂函数y=x是定义域上的减函数.( )

4ac-b(4)二次函数y=ax+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( )

4a2

2

2

2

2

n(5)二次函数y=ax+bx+c,x∈R不可能是偶函数.( )

(6)在y=ax+bx+c(a≠0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( )

答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏

常见误区|K(1)二次函数图象特征把握不准; (2)二次函数的单调性规律掌握不到位; (3)忽视幂函数的定义域; (4)幂函数的图象掌握不到位.

1.如图,若a<0,b>0,则函数y=ax+bx的大致图象是________(填序号).

2

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