第4讲 二次函数与幂函数
一、知识梳理 1．幂函数
(1)定义：形如y＝x(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常1
－1
见的五类幂函数为y＝x，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x.
2
3
α(2)五种幂函数的图象
(3)性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质
解析式 2
2
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) ?4ac－b，＋∞? ?4a???在?－∞，－?上递减； 2a??在?－，＋∞?上递增 ?2a?2?－∞，4ac－b? ?4a???在?－∞，－?上递增； 2a??在?－，＋∞?上递减 ?2a?2?b??b?单调性 ?b??b?对称性 常用结论 1．幂函数的图象和性质
函数的图象关于x＝－对称 2ab(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α>0时，y＝x在[0，＋∞)上为增函数； 当α<0时，y＝x在(0，＋∞)上为减函数． 2．一元二次不等式恒成立的条件
??a>0，(1)ax＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是?2
?b－4ac<0.?
2
αα(2)ax＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是?二、教材衍化
2
?a<0，?
2
??b－4ac<0.
2??1α1．已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点?，?，则k＋α＝________．
?22?
2??1α解析：因为函数f(x)＝k·x是幂函数，所以k＝1，又函数f(x)的图象过点?，?，
?22?213?1?所以??＝，解得α＝，则k＋α＝. 222?2?
3
答案： 2
2.如图是①y＝x；②y＝x；③y＝x在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．
abcα
解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0 3．函数g(x)＝x－2x(x∈[0，3])的值域为________． 解析：由g(x)＝x－2x＝(x－1)－1，x∈[0，3]， 得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数． 所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1，3]． 答案：[－1，3] 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1 (1)函数y＝2x2是幂函数．( ) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n<0时，幂函数y＝x是定义域上的减函数．( ) 4ac－b(4)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.( ) 4a2 2 2 2 2 n(5)二次函数y＝ax＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．( ) (6)在y＝ax＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)忽视幂函数的定义域； (4)幂函数的图象掌握不到位． 1．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax＋bx的大致图象是________(填序号)． 2 2 2