的借记卡酷酷卡卡1.2.2 绝对不等式的解法
A级 基础巩固
一、选择题 1．不等式?
?x－2?＞x－2的解集是( )
?x?x?
B．(－∞，0)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
A．(0，2) C．(2，＋∞)
解析：由绝对值的意义知，?
?x－2?＞x－2等价于x－2＜0，
?xx?x?
即x(x－2)＜0，解得0＜x＜2. 答案：A
2．不等式|x－1|－|x－5|＜2的解集是( ) A．(－∞，4) C．(1，4)
B．(－∞，1) D．(1，5)
解析：法一：当x＜1时，原不等式化为1－x－(5－x)＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x＜5时，原不等式即x－1－(5－x)＜2，解得x＜4；当x≥5时，原不等式化为x－1－(x－5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．
法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．
答案：A
π?π1?3．(2017·天津卷)设θ∈R，则“?θ－?＜”是“sin θ＜”的( )
12?122?A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
π?ππππ?解析：因为?θ－?＜，所以－＜θ－＜，
12?12121212?π
即0＜θ＜.
6
π1
显然0＜θ＜时，sin θ＜成立．
62
1
的借记卡酷酷卡卡1π
但sin θ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．
26π?π1?故?θ－?<是sin θ＜的充分而不必要条件． 12?122?故选A. 答案：A
4．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为( ) A．8 C．－4
B．2 D．－8
解析：原不等式化为－6＜ax＋2＜6，即－8＜ax＜4. 又因为－1＜x＜2，所以验证选项易知a＝－4适合． 答案：C
5．当|x－2|＜a时，不等式|x－4|＜1成立，则正数a的取值范围是( ) A．a＞5－2 C．a≥5－2
B．0＜a≤5－2 D．以上都不正确
2
解析：由|x－2|＜a，得－a＋2＜x＜a＋2， 由|x－4|＜1，得3＜x＜5或－5＜x＜－3.
2
?a＋2≤5，
所以?即0＜a≤5－2，
?－a＋2≥3，
或?
?a＋2≤－3，
无解．
?－a＋2≥－5，
答案：B 二、填空题
6．不等式|2x－1|＋x＞1的解集是________．
解析：法一 把|2x－1|＋x＞1移项，得|2x－1|＞1－x，把此不等式看作|f(x)|＞g(x)的形式得2x－1＞1－x或2x－1＜－(1－x)，
???22
所以x＞或x＜0，故解集为?x?x＞或x＜0?.
33???
法二 用分类讨论的方法去掉绝对值符号． 12
当x＞时， 2x－1＋x＞1，所以x＞；
231
当x≤时，1－2x＋x＞1，所以x＜0.
2
???2??. x＞或x＜0综上得原不等式的解集为x?3???
2
的借记卡酷酷卡卡???2
答案：?x?x＞或x＜0?
3???
4
7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是
a________．
解析：当a＜0时，显然成立；
4
因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋≤4.所以a＝2，
a综上可知a∈(－∞，0)∪{2}． 答案：(－∞，0)∪{2}
8．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集是?，则a的取值范围是________． 解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a＜3. 答案：a＜3 三、解答题
9．设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值. 解：(1)由f(x)＝|2x＋1|－|x－4|，
??1得f(x)＝? 3x－3，－＜x＜4，
2
??x＋5，x≥4.
作出函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|的图象(图象略)，这与直线y＝2的交点为(－7，2)
1－x－5，x≤－，2
?5?和?，2?. ?3?
?5?所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪?，＋∞?. ?3?
(2)由y＝|2x＋1|－|x－4|的图象(图略)可知， 19
当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－.
2210．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
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