数列考点总结
第一部分求数列的通项公式
一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书） 二、求数列的通项公式
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 一、累加法
a?an?f(n)1．适用于：n?1----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。
若
an?1?an?f(n)(n?2)，
a2?a1?f(1)a3?a2?f(2)L L则an?1?an?f(n)
an?1?a1??f(n)k?1n两边分别相加得例1 已知数列例2 已知数列
，求数列
{an}{an}{an}满足满足
an?1?an?2n?1，a1?1的通项公式。 的通项公式。
an?1?an?2?3n?1，a1?3，求数列
{an}an?aan?1?an?2n(n?N*)?练习1.已知数列的首项为1，且写出数列?n?的通项公式.
2答案：n?n?1
练习2.已知数列
{an}满足a1?3，
an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式.答案：
裂项求和
an?2?1n
a?an?f(n)评注：已知a1?a,n?1，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数
函数、分式函数，求通项
an.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
{an}an?0Sn?例3.已知数列中,且
1n(an?)2an,求数列{an}的通项公式.
练习3已知数列二、累乘法 1、适用于：
{an}an?1?满足
2an,a1?1{a}an?2，求数列n的通项公式。
an?1?f(n)an
累乘法是最基本的二个方法之二。
an?1aaa2?f(n)?f(1)，3?f(2)，LL，n?1?f(n)a2an若an，则a1
nan?1?a1??f(k)a1k?1两边分别相乘得，例4已知数列
{an}
，求数列
{an}满足
an?1?2(n?1)5n?an，a1?3的通项公式。
（n=1，2，3，…），则
22??n?1a?na??an?1n例5.设n是首项为1的正项数列，且
?an?1an?0它的通项公式是an=________. 三、待定系数法适用于
an?1?qan?f(n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的
一个函数。 1．形如
an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型
（1）若c=1时，数列{（2）若d=0时，数列{
anan}为等差数列; }为等比数列;
an（3）若c?1且d?0时，数列{来求.
待定系数法：设得
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列
an?1???c(an??),
比较系数得
an?1?can?(c?1)?,与题设
an?1?can?d,(c?1)??d,所以
??ddd,(c?0)an??c(an?1?)c?1c?1c?1 所以有：
d??da??n?a1?c?1?构成以c?1为首项，以c为公比的等比数列， 因此数列?所以
an?dddd?(a1?)?cn?1an?(a1?)?cn?1?c?1c?1c?1c?1. 即：
an?1?can?d规律：将递推关系
{an?化为
an?1?dd?c(an?)c?1c?1,构造成公比为c的等比数列
ddd}an?1??cn?1(a1?)c?1从而求得通项公式1?cc?1
an?1?can?d逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系两式相减有式.
an?1?an?c(an?an?1)中把n换成n-1有
{an?1?an}an?can?1?d,
从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公
an?1?an?cn(a2?a1),再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6、已知数列2．形如：
{an}中，
a1?1,an?2an?1?1(n?2)a，求数列?n?的通项公式。
an?1?p?an?qn(其中q是常数，且n?0,1)
，累加即可.
①若p=1时，即：
an?1?an?qnan?1?p?an?qnp?1②若时，即：，
n?1p求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列
an?1n?1p即：
?anqn?1pn?()pqbn?anpn，则
bn?1?bn?,令
1pn?()pq,然后类型1，累加求通项.
n?1qii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。
an?1n?1q即：
?pan1??qqnq,
p1?bn?qq.然后转化为类型5来解，
bn?anqn,则可化为
bn?1?令
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
.通过比较系数，求出?，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p?q，否则待定系数法会失效。 设
例7、已知数列
{an}an?1???qn?1?p(an???pn)满足
an?1?2an?4?3n?1，a1?1a，求数列?n?的通项公式。
练习3.（2009陕西卷文）
a}已知数列?n满足，
a1＝1’a2?2,an＋2＝an?an?1,n?N*2.
???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；
a}(Ⅱ)求?n的通项公式。
1521n?1*a??(?)(n?N)nbn??332答案：（1）是以1为首项，2为公比的等比数列。（2）。
?总结：四种基本数列 1．形如
an?1?an?f(n)型等差数列的广义形式，见累加法。
an?1?f(n)a2.形如n型等比数列的广义形式，见累乘法。
3.形如
an?1?an?f(n)an?1?an?d型
an（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期
an?1?an?f(n)为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为求出通项;或用逐差法(两式相减)得4.形如
an?1?an?f(n)an?1?an?p型，通过累加来
an?1?an?1?f(n)?f(n?1)，，分奇偶项来分求通项.
型
an（1）若(p为常数)，则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为
an?an?1?f(n?1)2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得分奇偶项来分求通项. 例8.数列{
ana?an?2n}满足a1?0,n?1,求数列{an}的通项公式.
，两式相除后，
1n*a?3,a?a?(),(n?N)1nn?1{an}满足2例9.已知数列,求此数列的通项公式.
第二部分数列求和
一、公式法
1．如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q＝1或q≠1.
2．一些常见数列的前n项和公式：
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. 二、非等差、等比数列求和的常用方法 1．倒序相加法
如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前
2
n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的．
2．分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
[小题能否全取]
1．(2012·沈阳六校联考)设数列{(－1)}的前n项和为Sn，则对任意正整数n，Sn＝( )
2．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项的和为Sn，则数列的前10项的和为( ) A．120 C．75
B．70
D．100
n3．数列a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋ak＋…＋a10的值为( )
A．31 C．130
B．120
D．185
4．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为________． 5．数列，，，…，，…的前n项和为________．
任何两个数不在下表的同一列.
分组转化法求和 [例1]等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的
第一行 第一列 3 第二列 2 第三列 10