转周期的1/12倍，因此卫星中的宇航员一天内可看到12次日出，故D错误。故选B。
9．(2018·东北三省四市高三第二次联合模拟)2017年4月20日，中国第一艘货运飞船“天舟一号”发射升空，并与在轨运行的“天宫二号”成功交会对接，开展了一系列任务，验证了空间站货物补给、推进剂在轨补加等关键技术。设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，离地面的高度为kR，运行周期为T。则下列说法正确的是( AC )
A．对接前，“天舟一号”可以先到达比“天宫二号”的轨道半径小的轨道然后加速对接
B．对接前，“天舟一号”可以先到达与“天宫二号”的轨道半径相同的轨道然后加速对接
C．对接后，飞船的加速度大小为a＝
g1＋k2
2πkRD．对接后，飞船的速度大小为v＝
T[解析] 对接前，“天舟一号”在前，如果自身减速，在原轨道上万有引力大于所需要的向心力，做近心运动，轨道半径变小，即可以先到达比“天宫二号”的轨道半径小的轨道然后加速对接，故A正确，B错误；在地球表面附近，根据重力等于万有引力mg＝G2，得
MmRMm1
GM＝gR2，对接后，轨道半径r＝R＋kR＝(1＋k)R，根据万有引力提供向心力，有G2＝m1a，
rGM得a＝2＝
rTgR21＋k22
R＝
g1＋k2
，故C正确；对接后，飞船的线速度v＝
2πrT＝
2π1＋kR2πR1＋k＝，故D错误。
T10．(2017·江西省新余市二模)18世纪，数学家莫佩尔蒂，哲学家伏尔泰曾经设想“穿透”地球；假设能够沿着地球两极连线开凿一条沿着地轴的隧道贯穿地球，一个人可以从北极入口由静止自由落入隧道中，忽略一切阻力，此人可以从南极出口飞出，(已知此人的质量m＝50kg；地球表面处重力加速度取g＝10m/s；地球半径R＝6.4×10m；假设地球可视为质量分布均匀的球体。均匀球壳对壳内任一点的质点合引力为零)则以下说法正确的是( BD )
A．人与地球构成的系统，由于重力发生变化，故机械能不守恒
2
6
5
B．人在下落过程中，受到的万有引力与到地心的距离成正比
C．人从北极开始下落，到刚好经过地心的过程，万有引力对人做功W＝3.2×10J 13
D．当人下落经过距地心R瞬间，人的瞬时速度大小为43×10m/s
2
[解析] 人与地球构成的系统，由于只有重力做功，故系统机械能守恒，故A错误；与
9
球心的距离为r时，万有引力为：F＝GM′m＝Gr2
ρ×πr3·mr2
43
4Gπρm＝r∝r；故B正确；人
3
从北极开始下落，直到经过地心的过程中，万有引力对人做功：
F1
W＝F·R其中：F＝＝mg联立解得：
22
11RW＝mgR＝×50×10×6.4×106＝1.6×109J，故C错误；人从下落到距地心过程，万2
2
2
mg＋mg有引力的平均值为：F＝
2
12
3
＝×50×10N＝375N 4
R12
根据动能定理，有：F·＝mv
22
F·R解得：v＝
375×6.4×103
＝43×10m/s
50
6
m＝
故D正确。故选：BD。
11．(2018·广东省梅州市高三下学期二模)P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星S1、S2，做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示
P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则( ABC )
A．P1的平均密度比P2的大 C．S1的向心加速度比S2的大
B．P1的“第一宇宙速度”比P2的大 D．S1的公转周期比S2的大
[解析] 根据牛顿第二定律，行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度为：a＝2，两曲线左端点横坐标相同，所以P1、P2的半径相等，结合a与r的反比关系函数图象得出
2
GMrP1的质量大于P2的质量，根据ρ＝
M4πR3
3，所以P1的平均密度比P2的大，故A正确；第一宇
6
宙速度v＝GM，所以P1的“第一宇宙速度”比P2的大，故B正确；S1、S2的轨道半径相RGMr等，根据a＝2，所以S1的向心加速度比S2的大，故C正确；根据万有引力提供向心力得出周期表达式T＝2πr3，所以S1的公转周期比S2的小，故D错误；故选ABC。 GM12．(2018·河南省郑州市高三下学期模拟)在地球大气层外有大量的太空垃圾。在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而逐渐降低轨道。大部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造成危害。以下关于太空垃圾正确的说法是( BD )
A．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致轨道降低
B．太空垃圾在与大气摩擦过程中机械能不断减小，进而导致轨道降低 C．太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，由于与大气的摩擦，速度不断减小 D．太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，向心加速度不断增大而周期不断减小 [解析] 原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾所受万有引力恰好提供向心力，但在大气包围中会与大气摩擦使机械能不断减小，使所受万有引力大于所需向心力，进而做向心运动，导致轨道降低，故A项错，B项正确；太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，根据v＝
GMr得速度增大，故C项错；由万有引力提供向心力及万有引力公式可知，太空垃圾在轨道缓慢降低的过程中，向心加速度不断增大而周期不断减小，故D项正确。
二、计算题(本题共1小题，需写出完整的解题步骤)
13．(2018·天津市高考压轴卷)万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性。
(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
a．若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值F1/F0的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；
b．若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值F2/F0的表达式。
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变，仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的一年将变为多长？
[解析] (1)在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
MmF0＝G2
R ①
7
F1＝GMmR＋h2
由公式①②可以得出：
F1F＝(R＋h)2＝0.98 0RFMmMm4π22
2＝GR2－mωR＝GR2－mT2R 2由①和③可得：F3
2F＝1－4πR2 0TGMMm4π2
(2)根据万有引力定律，有Gr2＝mT2r
得T＝4π2r3GM
又因为M＝ρV＝ρ·43π33
3
πRs，解得T＝Gρ·rR3 s从上式可知，当太阳半径减小为现在的1.0%时，地球公转周期不变。②
③
8