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第十章 双线性函数与辛空间
1、 设V是数域P上的一个三维线性空间，?1，?一个线性函数，已知 f (?1+? 求f (X132，?3是它的一组基，f是V上的
)=1,f (?22-2?33)=-1,f (?1+?2)=-3
?1+X2?+X3?).
解 因为f是V上线性函数，所以有
f (?1)＋ f (? f (?23)=1
3)-2 f (?2)=-1
f (?1)+f (?解此方程组可得
)=-3
f (?1)＝4，f (?于是 f (X12)＝－7，f (?3)＝－3
?1+X2?2+X3?3).＝X1 f (?1)＋X2 f (?2)＋X3 f (?3)
＝4 X1－7 X2－3 X3 2、 设V及?1，? f (?1+?32，?23同上题，试找出一个线性函数f ,使
)=0, f (?1+?)=1
)＝f (?-2?32解 设f为所求V上的线性函数，则由题设有
f (?1)＋ f (? f (?23)=0
3)-2 f (?2)=0
f (?1)+f (?解此方程组可得
)=1
f (?1)＝－1，f (? 学习 参考
2)＝2，f (?3)＝1
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于是?a?V,当a在V的给定基?1，? a= X12，?3下的坐标表示为
?1+X2?2+X3?3时，就有
f (a)=f (X1?1+X2?2+X32?3)
3 = X1 f (?1)＋X2 f (? =-X1+2 X2+ X3 3、 设?1，?2)＋X3 f (?)
，?33是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令
－?，?3＝?＋?
?1＝?1－?，?2＝?1＋?2323 试证：?1，?2，?3是V的一组基，并求它的对偶基。 证： 设
（?1，?2，?3）＝（?1，? 由已知，得
2，?3）A
?110??? A＝011 ?????111?? 因为A≠0，所以?1，?2，?3是V的一组基。 设g1,g2,g3是?1，?2，?3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）
?1
?01?1??? ＝（f1,f2,f3）1?12 ?????11?1?? 因此
g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3
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g3=-f1+2f2-f3
4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：??∈V，使 fi(?)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。
当s＝1时，f1≠0,所以??∈V，使fi(?)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即??∈V，使fi(?)=?i≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。
若fk?1(?)≠0,则命题成立，若fk?1(?)＝0，则由fk?1≠0知，一定??∈V 使fk?1(?)＝b,设fi(?)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令????c?，则?∈V，且
fi(?)=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
fk?1(?)＝cb≠0
即证。
5．设?1，?2，…?s是线性空间V中得非零向量，试证： fi(?i)≠0 (i=1,2…,s)
证：因为V是数域P上得一个线性空间，V是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量
*?，则可定义V*的一个线性函数? ?且?*******如下：
*(f)=f(?) (f∈V)
****是V的对偶空间（V)中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V)
的映射
?→?**
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