§12.4 复 数
最新考纲 1.理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示及其几何意义． 考情考向分析 本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、4.能进行复数代数形式的四则运算． 减法的几何意义，突出考查运算能力与5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 数形结合思想．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类：
满足条件(a，b为实数) a＋bi为实数?b＝0 复数的分类 a＋bi为虚数?b≠0 a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
→22
(5)模：向量OZ的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a＋b(a，b∈R)． 2．复数的几何意义
→
复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．
3．复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．
→→→→→→
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x＋x＋1＝0没有解．( × )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( √ )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编
1＋z
2．设复数z满足＝i，则|z|等于( )
1－zA．1 C.3 答案 A
解析 1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1， i－1－?1－i?z＝＝＝i，∴|z|＝|i|＝1.
1＋i2
→→→
3．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是( ) A．1－2i C．3＋4i 答案 D
→→→
解析 CA＝CB＋BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．若复数z＝(x－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( )
2
2
2
B.2 D．2
B．－1＋2i D．－3－4i
A．－1 C．1 答案 A
?x－1＝0，?
解析 ∵z为纯虚数，∴?
??x－1≠0，
2
B．0 D．－1或1
∴x＝－1.
题组三 易错自纠
5．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)是实数，则( ) A．b＝3a C．b＝9a 答案 A
解析 (a＋bi)＝a＋3abi＋3abi＋(bi) ＝a－3ab＋(3ab－b)i.
∵(a＋bi)是实数，∴3ab－b＝0， ∴3a＝b.
6．设i是虚数单位，若z＝cos θ＋isin θ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则θ位于( ) A．第一象限 C．第三象限 答案 B
解析 ∵z＝cos θ＋isin θ对应的点的坐标为(cos θ，sin θ)，且点(cos θ，sin θ)位于第二象限，∴
??cos θ<0，
?
?sin θ>0，?
2
23
2
3
3
2
2
3
3
3
2
22
3
2
2
2
2
3
B．a＝3b D．a＝9b
2
2
22
B．第二象限 D．第四象限
3
∴θ为第二象限角，故选B. 7．i
2 011
＋i
2 012
＋i
2 013
＋i
2 014
＋i
2 015
＋i
2 016
＋i
2 017
＝________.
答案 1
解析 原式＝i＋i＋i＋i＋i＋i＋i＝1.
4
1
2
3
4
题型一 复数的概念
1．(2017·全国Ⅰ)设有下列四个命题： 1
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
zp2：若复数z满足z∈R，则z∈R； －
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝z2； －
p4：若复数z∈R，则z∈R. 其中的真命题为( )
A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 答案 B
2