精选2019届高考数学北师大版一轮复习讲义:第4讲复数

§12.4 复 数

最新考纲 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示及其几何意义. 考情考向分析 本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算,与向量结合考查复数及其加法、4.能进行复数代数形式的四则运算. 减法的几何意义,突出考查运算能力与5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 数形结合思想.一般以选择题、填空题形式出现,难度为低档.

1.复数的有关概念

(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a叫作复数z的实部,b叫作复数z的虚部(i为虚数单位). (2)分类:

满足条件(a,b为实数) a+bi为实数?b=0 复数的分类 a+bi为虚数?b≠0 a+bi为纯虚数?a=0且b≠0

(3)复数相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R). (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).

→22

(5)模:向量OZ的模叫作复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=a+b(a,b∈R). 2.复数的几何意义

复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量OZ=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.

(2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

→→→→→→

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即OZ=OZ1+OZ2,Z1Z2=OZ2-OZ1.

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x+x+1=0没有解.( × )

(2)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( × )

(3)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ )

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( √ ) 题组二 教材改编

1+z

2.设复数z满足=i,则|z|等于( )

1-zA.1 C.3 答案 A

解析 1+z=i(1-z),z(1+i)=i-1, i-1-?1-i?z===i,∴|z|=|i|=1.

1+i2

→→→

3.在复平面内,向量AB对应的复数是2+i,向量CB对应的复数是-1-3i,则向量CA对应的复数是( ) A.1-2i C.3+4i 答案 D

→→→

解析 CA=CB+BA=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.

4.若复数z=(x-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )

2

2

2

B.2 D.2

B.-1+2i D.-3-4i

A.-1 C.1 答案 A

?x-1=0,?

解析 ∵z为纯虚数,∴?

??x-1≠0,

2

B.0 D.-1或1

∴x=-1.

题组三 易错自纠

5.设a,b∈R且b≠0,若复数(a+bi)是实数,则( ) A.b=3a C.b=9a 答案 A

解析 (a+bi)=a+3abi+3abi+(bi) =a-3ab+(3ab-b)i.

∵(a+bi)是实数,∴3ab-b=0, ∴3a=b.

6.设i是虚数单位,若z=cos θ+isin θ,且其对应

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