二、 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
A.基础梳理
1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点
如下表所示
x 0－φ ω0 0 π－φ2 ωπ 2A π－φ ωπ 0 3π－φ2 ω3π 2－A 2π－φ ω2π 0 ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ) 2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤
2π
3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝
ω1
叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
T4．图象的对称性
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下： π
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．
2(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．
B.方法与要点
1、一种方法
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝2π
即由＝T求出，φ由特殊点确定． ω
M－mM＋m
，k＝，ω由周期T确定，22
2、一个区别
由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平|φ|移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换ω和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3、两个注意
作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；
(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时先作一个周期的图象，再由周期性作整个函数的图象．
C.双基自测
π
1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin2x－4 的振幅、频率和初相分别为( )．
1π1π1π1π
A．2，，－ B．2，，－ C．2，，－ D．2，，－
π42π4π82π8π
2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜2的部分图象如图所示， 则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )．
ππππ
A．T＝6π，φ＝ B．T＝6π，φ＝ C．T＝6，φ＝ D．T＝6，φ＝
6363
π
3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为( )．
2A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
π4π
4．设ω＞0，函数y＝sinωx＋3＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )．
3
243
A. B. C. D．3 3325．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.
()
()
()
D.考点解析
考点一 函数y?Asin(?x??)的图象
题型1：给出函数作图象
ππ3【例1－1】?设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)?ω＞0，－＜φ＜0?的最小正周期为π，且f??＝. 2???4?2(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． [审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ； (2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．
(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．
(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx
?φ?＋φ＝ω?x＋?来确定平移单位．
ω
?
?
【训练1－1】 已知函数f(x)＝3sin?2x－4?，x∈R.
1
π
??(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？
题型2：给出图象求函数
【例1－2】?（1）已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜2，ω＞0)
的图象的一部分如图所示． (1)求f(x)的表达式；
(2)试写出f(x)的对称轴方程．
π
0?≤)的图象与y轴 （2）（07年江西卷）如图，函数y?2cos(?x??)(x?R，≤相交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为?． （1）求?和?的值；
π2（（2）已知点A
?，0），点2P是该函数图象上的一点，点Q（x0,y0)是PA的中点，当
y0?
3?,x?[,?)时，求x0的值。 22【训练1－2】
1、（05年四川卷）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是
（A）
??????y?sin?x?? （B）y?sin?2x??
6?6?????????y?cos?4x?? （D）y?cos?2x??
3?6???y?Asin(?x??)(??0,???,x?R) 2（C）
2、（2005天津卷文）函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为
????y??4sin(x?) （B）y?4sin(x?)
8484????（C）y??4sin(x?) （D）y?4sin(x?)
8484（A）
y3、（2009宁夏海南卷理）已知函数y=sin（?x+?） 1 3?4（?>0, -???
o -1 ?=________________ .
4、（2009辽宁卷理）已知函数f(x)=Acos(?x??)
的图象如图所示，
f(?22)??3，则f(0)= （A）?23 (B) 23 (C)－ 112 (D)
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考点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换
题型1：给定原函数f(x)和变换过程求变换后的函数
【例2－1】?（1）（2009全国卷Ⅱ理）若将函数
y?tan????x????4?????0?的图像向右平移
6个单
位长度后，与函数
y?tan????x???6??的图像重合，则?的最小值为
A．
1116 B.
4 C.
13 D.
2
【例2－1】?（2）函数y=cosx的图象向左平移
?13个单位，横坐标缩小到原来的2，纵坐标扩大到原来的
3倍，所得的函数图象解析式为 ( ) (A) y=3cos(
12x+?3) (B) y=3cos(2x+?2?11?3) (C) y=3cos(2x+3) (D) y=3cos(2x+6) （3）若改为：“把函数y=cosx的图象先横坐标缩小到原来的
12，再向左平移?3个单位”其他不变呢？
注意先后顺序：若先平移再左右伸缩，则
f(x)?左右平移???b?f(x?b)?左右伸缩???a?f(1ax?b)； 若先左右伸缩再平移，则f(x)?左右伸缩???a?f(1ax)?左右平移???b?f[1a(x?b)] 【训练2－1】
（1）(2012年高考浙江卷理科4)把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是
2?x