惠州市2013届高三第一次模拟考试
数学试题(理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知A? x|x2?4x?5?0 ，B? x|x2?1 ，则A?B?（ ）
A．? 1 ? B．? 1 , ?1 , 5 ? C． ? ?1 ? D．? 1 , ?1 , ?5 ? 2. 已知复数z?i(1?i) (为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为x?-2,则抛物线的方程是( ) A.y?8x B. y??8x C. y??4x D. y?4x
4.如图是某简单组合体的三视图，
则该组合体的体积为 （ ）
A. 363(??2) B. 363(??2) C. 1083?
D. 108(3??2)
2222?????????5.已知向量a?(?1,1)，b?(3,m)，a//(a?b)，则m?（ ）
A．2 B．?2 C．?3 D．3
6.设随机变量?服从正态分布N(3,4)，若P(??2a?3)?P(??a?2)，则a?（ ）
A．3 B．
x57 C．5 D． 337.已知函数f?x??3?x?9的零点为x0， 则x0所在区间为（ ）
A.??，??
22?3?1??
B. ??，?
222?11???C.?，?
22?13??? D. ?，?
22?35???8．设P为曲线C：y?x?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为
???0,?，则点P横坐标的取值范围为 ( ) ??4?A．??1,??
2??1??B．??1,0? C．?0,1?
D．?,1?
?1??2?
二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在等差数列{an}中，有a6?a7?a8?12，则此数列的前13项之和为 . 10．(x?)展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S的值是 .
12.已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C?A?B． 若a?A,b?B,c?C，给出下列四个命题：
k?2013 否 2x6开始 S?2,k?1 ?a//b?a?b?a//b?a//c ②??a//c ③??a?c①?c//bc?bc?b???
④?是 1S?1?S 输出S 结束 ?a?b?a?c 其中所有正确命题的序号是 .
?c//bk?k?1?2x?y?2?0?13．设变量x，y满足约束条件?x?2y?4?0，则目标函数
?x?1?0?z?3x?2y的最小值为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为?cos(???4)?32，曲线C：
??1上的点到直线的距离为d，则d的最大值为 .
15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O的直径AB?6,P是
AB的延长线上一点,过点P 作圆O的切线,切点为C,连接
AC,若?CPA?30?,则PC? . 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说
明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分12分） 已知f(x)?Asin(?x??)?1 ，（x?R，其中
A?0,??0,0????2）的周期为?，且图像上一个最低点为M(2?,?1) 3（1）求f(x)的解析式；
（2）当x?[0,?12]时，求f(x)的值域．
17．(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：
第一小组 第二小组 总计
科目甲 1 2 3
科目乙 5 4 9
总计 6 6 12
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况. （1）求选出的4 人均选科目乙的概率；
（2）设?为选出的4个人中选科目甲的人数，求?的分布列和数学期望．
18．(本小题满分14分)如图, ABC?A1B1C1中,侧棱与
底面垂直, AB?AC,AB?AC?AA1?2,点M,N分别为A1B和B1C1的中点. （1）证明: MN//平面A1ACC1; （2）求二面角N?MC?A的正弦值.
A1B1MABNC1C
19．（本小题满分14分）
3已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为
2的椭圆过点（2，y P 2）． 2Q Ox （1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点，满
足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求?OPQ面积的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?logmx（m为常数，0?m?1），且数列?f(an)?是首项为2，公差为2的等差数列.
(1) 若bn?an?f(an)，当m?2时，求数列?bn?的前n项和Sn； 2
（2）设cn?an?lgan，如果?cn?中的每一项恒小于它后面的项，求m的取值范围. 21．（本小题满分14分）
已知函数f(x)?ax2?bx?1在x?3处的切线方程为y?5x?8. (1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)?kex恰有两个不同的实根，求实数k的值； (3)数列?an?满足2a1?f(2)，an?1?f(an),n?N?， 求S?
1111的整数部分. ????????a1a2a3a2013
惠州市2013届高三第一次模拟考试
数学（理科）答案
一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 答案 l C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 A
二、填空题；本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. 9. 52 10. 60 11.1 12. ④ 13．-414．32?1 15. 33 2
1.【解析】因为A? x|x2?4x?5?0 =? ?1 , 5 ?；B?? 1 , ?1 ?，A?B?? ?1 ?故选C.
2.【解析】因为z?i(1?i)??1?i,所以z?i(1?i)??1?i对应的点在复平面的第二象限. 故选B．
3. 【解析】抛物线的准线方程为x?-2,,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为
??y2?2px(p?0)?则其准线方程为x??程为y?8x.故选A.
2pp? ∴???2?解得p?4, ∴抛物线的标准方224.【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的。圆椎底面
半
径
为
6，椎体底面边长为
12，高为
111163．V?????36?63???12?6?63?363(??2)故选B．
3232???????5.【解析】向量a?(?1,1)，因为a//(a?b)∴?(m?1)?2，b?(3,m)，(a?b)?(2,m?1)，m??3故选C．
6.【解析】因为
?服从正态分布N(3,4)，P(??2a?3)?P(??a?2)，
7?2a?3?a?2?6,a?.故选D.
37.【解析】因为f?x?为增函数,又f()?选D.
8.【解析】设P(x0,y0)，倾斜角为?，0?tan??1，f(x)?x?2x?3,f'(x)=2x+2，
23227?3?9?0,25?5?f???243??9?0.故
2?2?10?2x0?2?1，?1?x0??，故选A .
2