第十章 曲线积分与曲面积分
（第一部分）曲线积分
Ⅰ、对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）
一、对弧长的曲线积分的概念
1．定义
L?f(x, y)ds?lim?f(???0i?1n??0i?1ni, ?i)?si.
??f(x, y, z)ds?lim?f(? Li, ?i, ?i)?si
2．物理意义 M???(x, y)ds表示线密度为?(x, y)的弧段L?AB的质量.
二、对弧长的曲线积分的性质
1．线性性质：?[?f(x, y)??g(x, y)]ds???f(x, y)ds???g(x, y)ds.
L L L2．可加性：若L?L1?L2，则?f(x, y)ds? L L1?f(x, y)ds??f(x, y)ds.
L23．L的弧长：s??ds.
L4．单调性：设在L上，f(x, y)?g(x, y). 则?f(x, y)ds? L L?g(x, y)ds.
5．与积分曲线的方向无关性：
AB?f(x, y)ds??f(x, y)ds
BA三、对弧长的曲线积分的计算方法
方法：化为定积分计算（注：下限<上限） （1）若L: x??(t), y??(t) (??t??)；则
L?f(x, y)ds??? ?f[?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)dt.
（2）若L: y??(x) (x0?x?X)；则
L?f(x, y)ds?? X x0f[x, ?(x)]1???2(x)dx.
（3）若L: r?r(?) (?1????2)；则
— 1 —
L?f(x, y)ds??? ?21f(rcos?, rsin?)r2(?)?r?2(?)dr.
（4）若?: x??(t), y??(t), z??(t) (??t??)；则
??f(x, y, z)ds??f[?(t), ?(t), ?(t)]??2(t)???2(t)???2(t)dt.
? ?注 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分典型例题
例1． 求I??L12y?2?22(x?)?(?1)dsL: x?y?1. ，其中??22??分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分曲线是x2?y2?1，而由轮换对称性可知：?x2ds?L?Ly2ds，由奇偶对称性知：?(x?y)ds?0. 故本题
L有如下简单的解法。
解 I??L?2y25??)?(x?y)?ds ?(x?44???2y25?(x??)?(x?y)??ds?44??y25?L(x?4?4)ds
2??Lx2?y2x2?y25??(?)ds??ds L284 L?1155515(?)ds??2???????. ?L284424五、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长s??ds.
L2．物理应用
质量 M???(x, y)ds.
L质心 x?1M L?x?(x, y)ds，y?1M L?y?(x, y)ds.
L2x??(x, y)ds.
转动惯量 Ix? L?y2?(x, y)ds，Iy? — 2 —
G?(x,y)(y?y0)??G?(x,y)(x?x0)ds,ds?. 引力 F?(Fx,Fy)???33?LLrr??Ⅱ、对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）
一、对坐标的曲线积分的概念
1．定义
L?P(x, y)dx?Q(x, y)dy?lim??P(???0i?1ni, ?i)?xi?Q(?i, ?i)?yi?.
?2．物理意义 W??? AB?F?dr??(Pi?Qj)?(dxi?dyj)??Pdx?Qdy.
AB AB?????变力F(x, y)?P(x, y)i?Q(x, y)j沿L?AB所作的功.
?二、对坐标的曲线积分的性质
1．线性性质：?[?F1(x, y)??F2(x, y)]?dr???F1(x, y)?dr???F2(x, y)?dr.
L??????? L L2．可加性：若L?L1?L2（方向不变），则
L?F(x, y)?dr??F(x, y)?dr??F(x, y)?dr.
L1 L2?
??????3．方向性：设L是L的反向曲线弧，则
L??F(x, y)?dr???F(x, y)?dr.
L????三、对坐标的曲线积分的计算方法
1．直接计算法（化为定积分计算）.（注：下限?起点A，上限?终点B） （1）设L: x??(t), y??(t)；t从?变到?；则
L?P(x, y)dx?Q(x, y)dy?? ? ?{P[?(t), ?(t)]??(t)?Q[?(t), ?(t)]??(t)}dt.
（2）设L: y??(x)；x从a变到b；则
L?P(x, y)dx?Q(x, y)dy?? b a{P[x, ?(x)]?Q[x, ?(x)]??(x)}dx.
（3） 设L: x??(y)；y从c变到d；则
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