第六章 非线性微分方程和稳定性
6-1 对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过?0,x0?的积分曲线的走向，从而判断各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。
dx?Ax?Bx2, A?0,B?0,???x0??? dtdx2）?x?x?1??x?3?, x0?0
dtdxA解 1）方程可化为 ?Bx(?x)，则其常数特解为
dtBA x1?0,x2??，即为驻定解。
B1）
由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当x?0,x??A时，分离变量得 B???1?1???dx?Adt ?xx?A???B??方程的通解为
x?CeAt
A?Bx利用初始条件x?0??x0?x0?0,x0??条件的解为
x(t)???x0A?，故得原方程满足初始?，得 C?A?Bx0B?A?A??At??B???B?x?e?0??t?0? （1） 由式（1）和方程右端的表达式，得出 当x0?0时， 又
dx?0，x(t)递增， dt?A??AtA??B??B,??Be?B时，x(t)???， ??x0?x0?1Aln(?1)时，x(t)???。 Ax0B即t?t?Adx?A?B?0, x?? , ?0 0?xBdt?0当 x0?0时?，有
Adx?A?B?0, x0?? , ?0?Bdt?x0x(t)??A?t???? B所以解（1）的图像如图6-5所示。
x dx?0 dtx1(t)?0 o dxt ?0 dtAx2(t)?? B
图6-5
从解的图像可以看出： 解x1?0不稳定；解x2?? 利用变换y?x?
A稳定。 BA，可将原方程化为 BdyAA ?A(y?)?B(y?)2??Ay?By2
dtBBA所以原方程的驻定解x2??对应于方程
Bdy??Ay?By2 dt的零解y?0。
2）由x?x?1??x?3??0，求得常数解为 x1?0,x2?1,x3?3。
因为f?t,x??x?x?1??x?3?在全平面上连续可微，故对任意初始点?t0,x0?，解唯一存在，当t?0,x?0时有
dx ?0，任意解x?x?t?递增，在t???时 ，以x?1为渐近线。
dtdx 在区域1?x?3， ?0，任意解x?x?t?递减，在t???时 ，以x?1为渐近线。
dtdx 在区域x?3，?0，任意解x?x?t?递增，在t???时 ，x?t?远离x3?t??3，
dtdx又????t????，故x?t?有铅直渐近线。积分曲线的分布如图6-6所示。 dt 在区域0?x?1，
x dx?0 dtx3(t)?3 3 dx?0 dt1 x2(t)?1 dx?0t dtt?0,x0?0
o
图6-6
从图6-6看出：当x0?0时，x(t)?0；当0?x0?3时，x(t)?1，当t???时， 驻定解x2?1稳定；x3?3不稳定。
令y?x?1，代入原方程，得
dy?y?y?1??y?2? dt令y?x?3，代入原方程，得
dy?y?y?2??y?3? dt所以原方程的驻定解x2?1和x3?3对应于新方程的零解y?0。
评注：驻定解是使方程的左端为零的解，也就是常数解。如果方程的通解能够解出，直接可研究驻定解的稳定性；如果方程的解不易得到，就从方程本身的特点研究其稳定性，这时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。从题目中我们还可以知道，非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解，这也是为什么在稳定性理论的研究